Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 79 стр.

  2. Пусть ϕ : L → L0 — сюръективный гомоморфизм решётки L в решётку L0 . То-
     гда по теореме о гомоморфизмах существует такой изоморфизм ψ решёток L0 и
     L/Ker ϕ, что ψ(ϕ(a)) = π(a) для всех a ∈ L, где π — естественный гомоморфизм
     решётки L на её фактор-решётку L/Ker ϕ.
  Пусть α — однородное на множестве A отношение, то его сужение на подмножество
B ⊆ A есть B 2 ∩ α. В этом случае легко видеть, что если α — конгруэнция на A и
B 6 A, то B 2 ∩ α — конгруэнция на B.
  Следствием теорем о гомоморфизмах АС и о фактормножествах является полезная

Теорема    3.7  (О факторсистемах). Пусть ϕ — гомоморфизм из АС
A = h A, Op A, Rel A i в АС B = h B, Op B, Rel B i и ∼ — эквивалентность
на A такая, что ∼ ⊆ Kerϕ. Тогда:

 1) отображение χ, задаваемое правилом χ([a]∼ ) = ϕ(a), есть эпиморфизм из A/ ∼
    на Imϕ ⊆ B;

 2) если гомоморфизм ϕ сильный, то и χ — сильный гомоморфизм между A/ ∼ и
    Imϕ.
                                                                                   χ
Доказательство. По теореме о фактормножествах существует отображение A/∼ → B
такое, что диаграмма
                              A
                                     ϕ
                                       [[   B            w
                                          []          χ
                                                      
                                  nat (∼)           
                                           A/ ∼
коммутативна. Это отображение задаётся правилом

                                    ψ([a]∼ ) = ϕ(a) .                              (3.9)

    Для доказательства утверждения теоремы надо показать согласованность отображе-
ния χ с операциями и отношениями АС A/ ∼ и B. Это проводится аналогично доказа-
тельству теоремы 3.6.
    Пусть f ∈ OpA, f 0 ∈ OpB и f ∗ ∈ Op∗ A/ ∼ — тройка одноимённых операций арно-
сти n. Для любого набора элементов a1 , . . . , an из A при n > 0 будем иметь цепоч-
ку равенств, аналогичную (3.7) с заменами Kerϕ 7→ ∼ и (3.6) 7→ (3.9). Также и для
n = 0. Это означает согласованность χ с f ∗ и f 0 , и, следовательно, со всем множеством
операций систем A/ ∼ и B.
    Теперь рассмотрим произвольную тройку одноимённых отношений r ∈ RelA,
r ∈ RelB и r∗ ∈ Rel∗ A/ ∼ арности m. Для любого набора элементов a1 , . . . , am
  0

из A будем иметь цепочку соотношений, аналогичную (3.8) с заменами Kerϕ 7→ ∼ и
(3.6) 7→ (3.9). Это означает согласованность χ с r∗ и r 0 , и, следовательно, со всем
множеством отношений систем A/ ∼ и B.
    Итак, показано, что χ есть гомоморфизм из A/ ∼ в B и, следовательно, эпиморфизм
в Imϕ.
    Если гомоморфизм ϕ сильный, то соответствующую импликацию в последних соот-
ношениях можно обратить. В результате получим, что отображение χ сильно согласо-
ванно с r∗ ∈ Rel A/ ∼ и r 0 ∈ Rel B и, следовательно, χ — сильный гомоморфизм из
A/Ker в Imϕ.




                                               79