Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 77 стр.

UptoLike

Составители: 

при n > 0 и n = 0 соответственно. Отношение r
, одноимённое отношению r Rel A
арности m задаётся равенством
r
([a
1
]
α
, . . . , [a
m
]
α
)
def
=
A
a
1
0
, . . . , a
m
0
£
( a
i
αa
i
0
, i = 1, m ) r(a
1
0
, . . . , a
m
0
)
¤
. (3.5)
Полученные множества операций и отношений на A/α будем обозначать Op
A/α и
Op
A/α соответственно. Таким образом, фактор-система
A = h A/α, Op
A/α, Rel
A/α i
будет корректно определённой АС, однотипной с A. При этом ясно, что естественное
отображение nat(A, α) будет сильным гомоморфизмом из A в A с ядерной эквива-
лентностью α.
Замечание. Из сказанного следует, что теорема 3.4 допускает обращение: если α кон-
груэнция на АС A, то естественное отображение nat(A, α) есть гомоморфизм (на её
фактор-систему).
Пример 53. Если A алгебра с носителем A, то A/ M
A
=
A, а A/O
A
одноэлементная
алгебра. Таким образом, каждая алгебра имеет одноэлементную фактор-алгебру.
Для алгебр справедлива
Теорема 3.5 (Биркгофа). Класс алгебр является многообразием, если и только если он
замкнут относительно взятия подалгебр, прямых произведений и гомоморфных обра-
зов.
3.3.2 Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах АС
Нижеследующая теорема описывает ситуацию, когда в качестве конгруэнции на АС бе-
рётся ядро гомоморфизма.
Теорема 3.6 гомоморфизмах алгебраических систем). Пусть ϕ гомоморфизм из
АС A = h A, Op A, Rel A i в АС B = h B, Op B, Rel B i . Тогда:
1) отображение ψ, задаваемое правилом ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a), есть биективный гомо-
морфизм из A/Ker ϕ в Im ϕ B;
2) если гомоморфизм ϕ сильный, то ψ изоморфизм между A/Ker ϕ и Im ϕ.
Доказательство. По теореме об основном свойстве отображений существует вложение
A/Kerϕ
ψ
B такое, что диаграмма
A B
A/Kerϕ
ϕ
nat (Kerϕ)
ψ
коммутативна. Это отображение задаётся правилом
ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a) . (3.6)
Для доказательства утверждения 1) теоремы нам надо показать согласованность отоб-
ражения ψ с операциями и отношениями АС A/Ker ϕ и B.
77
при n > 0 и n = 0 соответственно. Отношение r∗ , одноимённое отношению r ∈ Rel A
арности m задаётся равенством
                                  def                    £                                                 ¤
    r∗ ([a1 ]α , . . . , [am ]α ) = ∃ a1 0 , . . . , am 0 ( ai αai 0 , i = 1, m ) ∧ r(a1 0 , . . . , am 0 ) .   (3.5)
                                    A

   Полученные множества операций и отношений на A/α будем обозначать Op∗ A/α и
Op∗ A/α соответственно. Таким образом, фактор-система

                                    A/α = h A/α, Op∗ A/α, Rel∗ A/α i

будет корректно определённой АС, однотипной с A. При этом ясно, что естественное
отображение nat(A, α) будет сильным гомоморфизмом из A в A/α с ядерной эквива-
лентностью α.
Замечание. Из сказанного следует, что теорема 3.4 допускает обращение: если α — кон-
груэнция на АС A, то естественное отображение nat(A, α) есть гомоморфизм (на её
фактор-систему).
Пример 53. Если A — алгебра с носителем A, то A/ MA ∼ = A, а A/OA — одноэлементная
алгебра. Таким образом, каждая алгебра имеет одноэлементную фактор-алгебру.
   Для алгебр справедлива

Теорема 3.5 (Биркгофа). Класс алгебр является многообразием, если и только если он
замкнут относительно взятия подалгебр, прямых произведений и гомоморфных обра-
зов.

3.3.2   Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах АС
Нижеследующая теорема описывает ситуацию, когда в качестве конгруэнции на АС бе-
рётся ядро гомоморфизма.

Теорема 3.6 (О гомоморфизмах алгебраических систем). Пусть ϕ — гомоморфизм из
АС A = h A, Op A, Rel A i в АС B = h B, Op B, Rel B i . Тогда:

 1) отображение ψ, задаваемое правилом ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a), есть биективный гомо-
    морфизм из A/Ker ϕ в Im ϕ ⊆ B;

 2) если гомоморфизм ϕ сильный, то ψ — изоморфизм между A/Ker ϕ и Im ϕ.

Доказательство. По теореме об основном свойстве отображений существует вложение
           ψ
A/Kerϕ ,→ B такое, что диаграмма

                                            A   ''
                                                          ϕ
                                                                   wB
                                                   ')            [
                                                                 ]
                                        nat (Kerϕ)             [[ψ
                                                     A/Kerϕ

коммутативна. Это отображение задаётся правилом

                                              ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a) .                                             (3.6)

   Для доказательства утверждения 1) теоремы нам надо показать согласованность отоб-
ражения ψ с операциями и отношениями АС A/Ker ϕ и B.


                                                          77