ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
при n > 0 и n = 0 соответственно. Отношение r
∗
, одноимённое отношению r ∈ Rel A
арности m задаётся равенством
r
∗
([a
1
]
α
, . . . , [a
m
]
α
)
def
=
∃
A
a
1
0
, . . . , a
m
0
£
( a
i
αa
i
0
, i = 1, m ) ∧ r(a
1
0
, . . . , a
m
0
)
¤
. (3.5)
Полученные множества операций и отношений на A/α будем обозначать Op
∗
A/α и
Op
∗
A/α соответственно. Таким образом, фактор-система
A/α = h A/α, Op
∗
A/α, Rel
∗
A/α i
будет корректно определённой АС, однотипной с A. При этом ясно, что естественное
отображение nat(A, α) будет сильным гомоморфизмом из A в A/α с ядерной эквива-
лентностью α.
Замечание. Из сказанного следует, что теорема 3.4 допускает обращение: если α — кон-
груэнция на АС A, то естественное отображение nat(A, α) есть гомоморфизм (на её
фактор-систему).
Пример 53. Если A — алгебра с носителем A, то A/ M
A
∼
=
A, а A/O
A
— одноэлементная
алгебра. Таким образом, каждая алгебра имеет одноэлементную фактор-алгебру.
Для алгебр справедлива
Теорема 3.5 (Биркгофа). Класс алгебр является многообразием, если и только если он
замкнут относительно взятия подалгебр, прямых произведений и гомоморфных обра-
зов.
3.3.2 Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах АС
Нижеследующая теорема описывает ситуацию, когда в качестве конгруэнции на АС бе-
рётся ядро гомоморфизма.
Теорема 3.6 (О гомоморфизмах алгебраических систем). Пусть ϕ — гомоморфизм из
АС A = h A, Op A, Rel A i в АС B = h B, Op B, Rel B i . Тогда:
1) отображение ψ, задаваемое правилом ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a), есть биективный гомо-
морфизм из A/Ker ϕ в Im ϕ ⊆ B;
2) если гомоморфизм ϕ сильный, то ψ — изоморфизм между A/Ker ϕ и Im ϕ.
Доказательство. По теореме об основном свойстве отображений существует вложение
A/Kerϕ
ψ
→ B такое, что диаграмма
A B
A/Kerϕ
ϕ
nat (Kerϕ)
ψ
коммутативна. Это отображение задаётся правилом
ψ([a]
Ker ϕ
) = ϕ(a) . (3.6)
Для доказательства утверждения 1) теоремы нам надо показать согласованность отоб-
ражения ψ с операциями и отношениями АС A/Ker ϕ и B.
77
при n > 0 и n = 0 соответственно. Отношение r∗ , одноимённое отношению r ∈ Rel A арности m задаётся равенством def £ ¤ r∗ ([a1 ]α , . . . , [am ]α ) = ∃ a1 0 , . . . , am 0 ( ai αai 0 , i = 1, m ) ∧ r(a1 0 , . . . , am 0 ) . (3.5) A Полученные множества операций и отношений на A/α будем обозначать Op∗ A/α и Op∗ A/α соответственно. Таким образом, фактор-система A/α = h A/α, Op∗ A/α, Rel∗ A/α i будет корректно определённой АС, однотипной с A. При этом ясно, что естественное отображение nat(A, α) будет сильным гомоморфизмом из A в A/α с ядерной эквива- лентностью α. Замечание. Из сказанного следует, что теорема 3.4 допускает обращение: если α — кон- груэнция на АС A, то естественное отображение nat(A, α) есть гомоморфизм (на её фактор-систему). Пример 53. Если A — алгебра с носителем A, то A/ MA ∼ = A, а A/OA — одноэлементная алгебра. Таким образом, каждая алгебра имеет одноэлементную фактор-алгебру. Для алгебр справедлива Теорема 3.5 (Биркгофа). Класс алгебр является многообразием, если и только если он замкнут относительно взятия подалгебр, прямых произведений и гомоморфных обра- зов. 3.3.2 Теоремы о гомоморфизмах и изоморфизмах АС Нижеследующая теорема описывает ситуацию, когда в качестве конгруэнции на АС бе- рётся ядро гомоморфизма. Теорема 3.6 (О гомоморфизмах алгебраических систем). Пусть ϕ — гомоморфизм из АС A = h A, Op A, Rel A i в АС B = h B, Op B, Rel B i . Тогда: 1) отображение ψ, задаваемое правилом ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a), есть биективный гомо- морфизм из A/Ker ϕ в Im ϕ ⊆ B; 2) если гомоморфизм ϕ сильный, то ψ — изоморфизм между A/Ker ϕ и Im ϕ. Доказательство. По теореме об основном свойстве отображений существует вложение ψ A/Kerϕ ,→ B такое, что диаграмма A '' ϕ wB ') [ ] nat (Kerϕ) [[ψ A/Kerϕ коммутативна. Это отображение задаётся правилом ψ([a]Ker ϕ ) = ϕ(a) . (3.6) Для доказательства утверждения 1) теоремы нам надо показать согласованность отоб- ражения ψ с операциями и отношениями АС A/Ker ϕ и B. 77
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- …
- следующая ›
- последняя »