Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 71 стр.

   Отметим, что алгебре можно сопоставить соответствующую адекватную модель, ес-
ли каждую операцию вида fin (x, . . . , xn ) заменить на отношение rin+1 (x, . . . , xn , xn+1 )
такое, что r n+1
             i   (x, . . . , xn , y) ⇔ fin (x, . . . , xn ) = y. Такая модель называется представ-
ляющей.
Пример 45. Пусть задана группа h Z, +, −, 0 i. Если
                       def                           def                    def
          r13 (m, n, k) = m + n = k ,      r22 (m, n) = m = −n ,     r31 (n) = n = 0 ,
то h Z, r13 , r22 , r31 i будет представляющей моделью для данной алгебры.

3.1.2   Подсистемы и прямое произведение алгебраических систем
Напомним, что множество X называется устойчивым относительно отображения
f : X n → X, если f (x1 , . . . , xn ) ∈ X для любого кортежа (x1 , . . . , xn ) из области опре-
деления f . Пусть A = h A, Op A, Rel A i — алгебраическая система и B — непустое
подмножество A. Назовём B устойчивым относительно операций из Op A, если оно
устойчиво относительно сужений на B каждой операции из Op A.
Определение 3.1. Пусть A = h A, Op A, Rel A i — АС и ∅ 6= B ⊆ A. АС
B = h B, Op B, Rel B i , где Op B и Rel B — сужения Op A и Rel A на B, назы-
вается подсистемой A, если множество B устойчиво относительно операций из Op A.
Подсистему алгебры называют подалгеброй, а подсистему модели — подмоделью. Если
B ⊂ A, то соответствующую подсистему называют собственной. Тот факт, что АС B
есть подсистема (собственная подсистема) АС A записывают B 6 A (B < A).
   Ясно, что любое подмножество носителя определяет подмодель, но не любое — подал-
гебру. Для последнего требуется устойчивость подмножества относительно всех опера-
ций сигнатуры, в том числе и нульарных, т.е. подсистема должна содержать все главные
элементы исходной системы, если таковые имеются.
Пример 46.    1. Поле рациональных чисел hQ, +, ·, 0, 1 i есть подалгебра поля дей-
     ствительных чисел (см. пример 44).
  2. Если множество A — собственное подмножество множества B, то алгебра мно-
     жеств P(A) не является подалгеброй P(B), поскольку такое сужение не сохраняет
     единицу P(A).
  3. Пусть F — множество дифференцируемых действительных функций. Тогда унар
           d         d
     h F, dx i, где dx — операция дифференцирования, есть алгебра. Множество полино-
     мов будет её подалгеброй.
  4. При любом натуральном n унар h Z, + i содержит подалгебру h nZ, + i.
   Совокупность всех подсистем АС A будем обозначать Sub (A). Ясно, что это ч.у.
множество, упорядоченное по включению.
Утверждение
     T        3.1. Пусть A — АС и {Ai }i∈I — некоторая совокупность её подсистем.
Тогда i∈I Ai либо пусто, либо является подсистемой.
Доказательство. Достаточно заметить, что пересечение носителей всех подсистем, если
оно не пусто, устойчиво относительно всех операций всех подсистем.
Следствие. Если АС A имеет главные элементы, то пересечение всех её подсистем
непусто.
   Справедливость данного следствия вытекает из условия принадлежности главных
элементов АС A любой её подсистеме.

                                               71