Упорядоченные множества и универсальная алгебра (вводный курс). Гуров С.И. - 67 стр.

     Легко проверяется, что, в силу свойств F , введённое отношения действительно яв-
ляется отношением эквивалентности и, например, все последовательности, отличающие-
ся, в конечном числе членов, эквивалентны. Получающиеся классы эквивалентности на-
зовём гипердействительными числами; они и будут являться элементами ∗ R. Действи-
тельному числу a соответствует класс эквивалентности [ a, a, . . . ], это — стандартное
гипердействительное число.
     Арифметические действия производятся над последовательностями почленно. Будем
считать, что a < b , если неравенство ai > bi выполняется на каком-либо множестве, не
входящем в F .
     Нетрудно проверить, что получено упорядоченное поле. В этом поле, однако, ак-
сиома Архимеда не выполняется: например, [ 1, 12 , 13 , . . . ] есть бесконечно малое, а
[ 1, 2, 3, . . . ] — бесконечно большое гипердействительные числа. Именно при проверке
этих свойств и требуется, чтобы F был неглавным ультрафильтром.




                                          67