Общая теория измерений. Хамханова Д.Н. - 25 стр.

тельно, среднее арифметическое является не только
состоятельной и несмещенной оценкой, но и наиболее
                                                                                                             1 n
                                                                                                                        (
                                                                                                                        2
                                                                                                                                )
                                                                                                                              1 n      2
                                                                                                                                                (
                                                                                                            M ∑ Qi − Qn  = M ∑ Qi − Q  − M Qn − Q =
                                                                                                                                                     2
                                                                                                                                                           )               {      }
эффективной оценкой среднего значения по критерию                                                            n i =1         n i =1    
наименьших квадратов.
      Рассмотрим оценку дисперсии. По аналогии со                                                                                            σ Q n −1 2        2

                                                                                                                M {Q i − Q } − σ Q2 = σ Q2 −
                                                                                                         1 n
                                                                                                           ∑
                                                                                                                            2
средним арифметическим в качестве оценки дисперсии                                                      =                                       =    ⋅σ Q .
возьмем:                                                                                                 n i =1                               n    n
                                                                                                      Такая оценка является смещенной. Несмещенную
              (Q i − Q i )2 .
           n
       1
          ∑
       n i=1
                                                                                                 оценку можно получить, если умножить ее на коэффициент
                                                                                                      n
      Тогда,                                                                                                    .
                                                                                                  n     −       1

           ∑ (Q                  − Qn )           ∑ (Q                                  )               При n → ∞ этот коэффициент стремится к 1.
               n                                   n
       1                                2     1                                         2
                         i                  =            i   − Qn + Q − Q                   =
       n   i =1                               n   i =1
                                                                                                        Следовательно, несмещенной оценкой дисперсии
                                                                                                 при любом законе распределения вероятности результата
                                                                                                 измерения является:
               ∑ [(Q                                                       )]
                   n
       1
                                        − Q     ) − (Q           − Q
                                                                                2
                                                                                    =                                    1    n
                                                                                                                                 (           )
                                                                                                                                              2

       n           i=1
                                    i                        n
                                                                                                        σ Q = S Q2 =         ∑
                                                                                                                       n − 1 i=1
                                                                                                                                  Q i − Q  n    .
       1 n
         ∑
       n i =1
                    [
              (Qi − Q )2 − 2(Qi − Q )(Qn − Q ) + (Qn − Q )2 =                               ]           Квадратный корень из нее называется стандартным
                                                                                                 отклонением:
                                                                                                                                                                   2

                                                                                                                                      ∑ (Q                         )
                                                                                                                                       n
                                                                                                                                1
1 n
       (        )      (        )      (        )           (Qn − Q )2 =
                                    n
                     2                               1 n                                                            =                                − Q
  ∑                              ∑                     ∑                                                    S                                                              .
                 2
        Q i − Q    −    Q n − Q         Q i − Q   +                                                             Q
                                                                                                                              n − 1   i=1
                                                                                                                                                i              n
n i =1               n            i =1               n i =1
                                                                                                            Оценив          среднее   значение          Q              и       среднее
1 n
  ∑    (Qi − Q ) − 2(Q n − Q ) ∑ Qi − Q  + (Q n − Q )2 =
                 2              1 n
                                                                                                 квадратическое отклонение σ                2
                                                                                                                                            Q       результата измерения,
n i =1                           n i =1           
                                                                                                 можно вместо них использовать точечные оценки Q                                      и
       ∑ (Q                                 )   − (Q                   )
           n
  1                                         2                          2
=                            i    − Q                    n   − Q            .                    SQ .
  n     i=1
                                                                                                      2.4 Факторы, влияющие на результат измерений
       При любом законе распределения вероятности                                                (влияющие факторы)
результата измерения эта оценка является состоятельной,
так как второе слагаемое при n → ∞ стремится к нулю, а                                                На результат измерения влияет множество факторов.
                                                                                                 В метрологической практике принято учитывать следую-
первое слагаемое к σ Q2 .
                                                                                                 щие факторы:
       Математическое ожидание данной оценки равно:                                                   – объект измерения;

                                                                                            49   50