Общая теория измерений. Хамханова Д.Н. - 24 стр.

      1     n
                                                 1     n                                               определить с помощью метода наименьших квадратов:
           ∑      Qi = Q +                            ∑      δ
                                                                                                             ∑ (Q                                         )
                                                                 i                                            m
      n    i=1                                   n    i=1                                                                       j   − Q
                                                                                                                                                           2
                                                                                                                                                               = min                    .                                  (13)
                   1     n                                                          1  n                      j=1

      lim          n
                        ∑        Q   i       =   lim             Q   +    lim         ∑       δ   i          Сумма квадратов отклонений от среднего значения
       n → ∞            i = 1                        n → ∞
                                                                            n → ∞
                                                                                    n i = 1
                                                                                                       равно минимуму. Исследуем функцию в левой части
     где                                         ;                                                     уравнения (13) на экстремум. Функция достигает
           lim  n → ∞
                         Q       = Q
                                                                                                       минимума, когда первая производная равна 0.
                   1         n
                                                       ,                                               Следовательно,
      lim            ∑           δ       i   = 0
                                                                                                                                                                      
                                                                                                                     ∑ (Q                                      )
                                                                                                                      m
                   n      i=1
                                                                                                             ∂                                  − Q
                                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                       
           n → ∞                                                                                                                          j                            
     откуда имеем:                                                                                                   j=1                                               = 0 .
                   1     n                                                                                                          ∂Q
                        ∑
                                                                                                                                                  j
      lim
       n→ ∞        n    i=1
                                 Q   i       = Q .
                                                                                                            Возводим обе части в квадрат:
                                                                                                                  
                                                                                                                         ∑ (Q                                                                          )
                                                                                                                            m
     То есть среднее арифметическое результата                                                                 ∂                                    2
                                                                                                                                                          − 2Q                 ⋅ Q           + Q   2
                                                                                                                                                  j                        j
измерения, сходящееся, по вероятности, к среднему                                                                          j=1                                                                           = 0                 ;
значению Q , при любом законе распределения                                                                                                                    ∂Q      j

вероятности результата измерения является состоятельной                                                             m                                        m                                            m

точечной оценкой среднего значения:                                                                          ∂    ∑       Q       j
                                                                                                                                     2
                                                                                                                                          
                                                                                                                                             ∂              ∑        2Q          j       ⋅ Q    ∂   ∑           Q     2

                                                                                                                    j =1                  −                  j =1                              +          j =1
                                                                                                                                                                                                                                   =
     1 n      1 n             1 n
   M  ∑ Q i  = ∑ M (Q i ) = ∑ M Q + M (δ i ) = Q                       [ ( )                ]                      ∂Q         j                                      ∂Q       j                             ∂Q      j
      n i =1  n i =1          n i =1                                                                                      m
                                                                                                             = 2      ∑   j=1
                                                                                                                                    Q         j           − 2Q      m          = 0 ;
      Следовательно, математическое ожидание при
любом законе распределения вероятности результата                                                             m

измерения является не только состоятельной, но и                                                             ∑j =1
                                                                                                                      Q         j   − mQ                        = 0 .
смещенной     оценкой     среднего   значения.   Этим
обеспечивается правильность результата многократного                                                        Если в качестве оценки                                                             выбрать               среднее
измерения. То сеть несмещенность среднего значения                                                     арифметическое, то получим:
результата измерения от значения измеряемой величины                                                          m    1                    ni          
обеспечивает правильность измерений.                                                                         ∑    
                                                                                                                  
                                                                                                             j =1  n j
                                                                                                                                    ∑             Qi  − mQ = 0 .
                                                                                                                                                                                                                         (14)
      Точность результата многократного измерения                                                                                    i =1            
зависит от эффективности оценки среднего значения. Чем                                                       Равенство                   (14) будет выполняться                                                   в силу
эффективнее оценка, тем выше точность.                                                                 состоятельности                   среднего арифметического.                                                Следова-
      Эффективность оценки среднего значения можно
                                                                                                  47   48