Основы квалиметрии. Хамханова Д.Н. - 66 стр.

    Чувствительность к изменениям единичного показателя                             В этом случае чувствительность к изменениям
среднего гармонического взвешенного также зависит от                            единичного показателя является также функцией от веса и
веса и от значения этого единичного показателя.                                 от значения этого единичного показателя. В общем случае
    Для среднего квадратического взвешенного                                    чувствительность к изменениям единичных показателей
      )                                                                         является функцией
    ∂Q      ∂                   m
                                                                                        )
    ∂Q j
         =
           ∂Q j
                =               ∑g
                                j =1
                                           j   ⋅ Q 2j                    (90)         ∂Q
                                                                                           = f (g j , Q                     j   ).
                                                                                      ∂Q j
    Здесь имеем следующую цепочку зависимостей:
             1           m
                                                                                    Чтобы показать различие средневзвешенных по
    ~
    Q = u 2 ,u =        ∑j =1
                                g j ⋅Q             2
                                                   j
                                                                                чувствительности к изменению единичных показателей
                                                                                построим графики зависимости чувствительности к
    Тогда                                                                       изменению единичных показателей средневзвешенных от
     ~     1                                                                    этого изменения. Допустим, что в комплексный показатель
    ∂Q  1 −2                                   1
       = u =                                                         ,
                                                                                объединены пять единичных показателей
    ∂u  2                              m
                                                                                Q1отн = 0,9, Q2отн = 0,7, Q3отн = 0,5, Q4отн = 0,4, Q5отн = 0,35, с
                           2⋅          ∑g
                                       j =1
                                                       j    ⋅Q   2
                                                                 j

                                                                                весами g 1 ,                     g2,       g3,       g4,       и      g   5   . В данном

     ∂u     ∂          ⎛ m              ⎞                                       примере g 1 = g 2 = g 3 = g 4 = g 5 = 0 , 2
         =             ⎜ ∑ g j ⋅ Q 2j ⎟ =                                                                                    и                                       тогда
    ∂Q j   ∂Q j        ⎜                ⎟                                       комплексные средневзвешенные показатели равны:
                       ⎝ j =1           ⎠
                                                                                       m

                                                                                 отн ∑ j j
        ⎛                                ⎞                                      ˆ = g Q = 0,9⋅ 0,2+0,7⋅ 0,2+0,5⋅ 0,2+0,4⋅ 0,2+0,35⋅ 0,2 = 0,57;
                                                                                Q
    ∂ ⎜ m                                ⎟
=       ⎜∑       g l ⋅ Q l2 + g j ⋅ Q 2j ⎟ = 2 g j ⋅ Q j                               j=1
  ∂ Q j ⎜ l =1                           ⎟                                                 m
        ⎝ l≠ j                           ⎠                                      ˆ =
                                                                                Qотн   ∑g Q       j   j
                                                                                                          2
                                                                                                              = 0,2⋅0,92 +0,2⋅0,72 +0,2⋅0,52 +0,2⋅0,42 +0,2⋅0,352 =0,605;
    Подставив полученные выражения в формулу (90)                                       j=1

окончательно получим:                                                                      m
                                                                                Qˆ отн = ∏ Q j j = 0,9 0,2 + 0,7 0,2 + 0,5 0,2 + 0,4 0, 2 + 0,350,2 = 4,424 ;
                                                                                              g

      ~     ~                                  2g j ⋅Q j
                                                                                           j =1
    ∂Q     ∂Q ∂u                                                                                1                    1                 1
         =    ⋅    =                                                     (91)   Qˆ отн =             =                               =   = 0,505 .
    ∂Q j   ∂u ∂Q j                             m

                                           ∑
                                                                                            m g        0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 1,979
                                                           g j ⋅ Q 2j
                                                                                           ∑               +     +     +      +
                                       2                                                           j
                                               j =1
                                                                                           j =1  Q j
                                                                                                       0,9   0,7   0,5   0, 4   0,35

 129                                                                                                                                                           130