Основы квалиметрии. Хамханова Д.Н. - 65 стр.

                  ⎛            ⎞                                                   Как видно из формулы (87) чувствительность к
      ~           ⎜            ⎟                                               изменениям      единичного      показателя       среднего
    ∂Q       ∂ ⎜          1    ⎟                                               геометрического взвешенного зависит от веса и от значения
         =                     ⎟;
    ∂Q j   ∂ Q j ⎜⎜    m g
                                                                               этого единичного показателя.
                  ⎜   ∑      j
                               ⎟
                               ⎟
                      j =1 Q j ⎠
                                                                                   Для среднего гармонического взвешенного
                  ⎝
                                                                                                ⎛              ⎞
    ∂Q      ∂      ⎛      m                   ⎞                                       ~         ⎜              ⎟
                   ⎜     ∑g                   ⎟.
                                         2
         =                          Qj                                              ∂Q      ∂ ⎜ 1              ⎟
    ∂Q j   ∂Q j    ⎜            j             ⎟                                          =
                   ⎝     j =1                 ⎠                                     ∂Q j   ∂Q j ⎜ m g j        ⎟
   Для среднего арифметического взвешенного                                                     ⎜∑             ⎟
                                                                                                ⎜ j =1 Q       ⎟
    ∂Q       ∂ ⎛ m          ⎞                                                                   ⎝        j     ⎠
         =       ⎜ ∑ g jQ j ⎟ =                                                                  ~                       m      g
   ∂Q j          ⎜
           ∂ Q j ⎝ j =1     ⎟
                            ⎠                                                      Полагая       Q = и −1 , где    и =   ∑          j

                                                                                                                         j =1   Q   j
          ⎛                            ⎞                                                   ~
      ∂ ⎜ m                            ⎟                                                  ∂Q                       1
          ⎜ ∑
    ∂ Q j ⎜ l =1
                 g l ⋅ Q l + g j ⋅ Q j ⎟= gj                            (86)       имеем:
                                                                                          ∂и
                                                                                             = − 1u − 2 = −
                                                                                                            ⎛ m gj                  ⎞
                                                                                                                                        2   ,
                                       ⎟                                                                    ⎜∑                      ⎟
          ⎝ l≠ j                       ⎠                                                                    ⎜ j =1 Q                ⎟
чувствительность к изменениям единичного показателя                                                         ⎝        j              ⎠
является величиной постоянной и равной весу этого
единичного показателя среди других слагаемых.                                        ∂u   ∂        ⎛ m gj ⎞              ⎛ m              ⎞
    Для среднего геометрического взвешенного:                                           =          ⎜∑        ⎟= ∂        ⎜ ∑ g j ⋅ Q −j 1 ⎟ =
                                                                                    ∂Q j ∂Q j      ⎜ j =1 Q ⎟ ∂ Q        ⎜                ⎟
                                             ⎡⎛ m           ⎞       ⎤                              ⎝       j ⎠    j      ⎝ j =1           ⎠
∂Q       ∂ ⎛ m gj ⎞        ∂
     =       ⎜П     Qj ⎟ =                   ⎢ ⎜ П Q lg l   ⎟ ⋅Q gj ⎥   (87)              ⎡                               ⎤
                                             ⎢ ⎜⎝ ll =≠1j   ⎟                          ∂ ⎢ m
                                                                 j
∂Q j   ∂ Q j ⎝ j =1    ⎠ ∂Q j                                       ⎥                                                  −1 ⎥
                                             ⎣              ⎠       ⎦              =
                                                                                          ⎢  ∑
                                                                                     ∂ Q j l =1
                                                                                                   g l ⋅ Q l + g j ⋅ Q j = − g j ⋅ Q −j 2
                                                                                                           −1
                                                                                                                          ⎥
   Постоянный множитель обозначим через С, равное                                         ⎣⎢ l ≠ j                        ⎦⎥
        m
C = П Q lg l .
    l =1
       l≠ j
                                                                                   Следовательно,
                                                                                ~   ~
   Тогда формула (86) примет вид:                                              ∂Q ∂Q ∂u             1                               gj
                                                                                  =   ⋅   =+                ⋅ g j ⋅ Q−j 2 =                 2 (89)

              (          )                     ( )                             ∂Qj ∂u ∂Qj                 2
∂Q      ∂                ∂                  g −1                                             ⎛ m gj ⎞                           ⎛  m g ⎞
                                                                                             ⎜∑ ⎟                           Q2j ⎜ ∑ j ⎟
                g              g
     =      C ⋅Qj j = C      Q j j = C ⋅ Q j j (88)
∂Q j   ∂Q j             ∂Q j                                                                 ⎜ j =1 Q ⎟                         ⎜ j =1 Q ⎟
                                                                                             ⎝        j ⎠                       ⎝       j ⎠


 127                                                                                                                                            128