Введение в информатику. Хамухин А.А. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128
4.6.2. Примеры решение задачи численного интегрирования
Метод прямоугольников, как наиболее простой здесь не рассматривается, и в
лабораторной работе его будем применять только для демонстрации снижения
погрешности расчета с помощью более точных методов на одном и том же наборе
экспериментальных данных
В методе трапеций подынтегральную функцию аппроксимируют полиномом
первой степени, то есть прямой линией. Это значит, что вместо площади
криволинейной трапеции мы будем искать площадь прямоугольной трапеции.
Приближенное значение интеграла равно:
)(
2
)()(
)( ab
afbf
dxxf
b
a
. (4.22)
Погрешность этой формулы пропорциональна остаточному члену O(h
3
f
””
), где h
интервал интегрирования. Оценку значения интеграла можно сделать более
точной, если разбить интервал интегрирования (b-a) на n частей и применить
формулу трапеций для каждого такого интервала:
))19(...)2()()()((
2
1
)( hnafhafhafbfafhdxxf
b
a
. (4.23)
Формула трапеций дает результат, сильно зависящий от величины шага h, что
сказывается на точности вычисления определенного интеграла особенно в тех
случаях, когда функция имеет немонотонный характер. Можно предположить
повышение точности вычислений, если вместо отрезков прямых, заменяющих
криволинейные фрагменты графика функции f(x), использовать, например,
фрагменты парабол, проводимых через три соседних точки графика. Подобная
геометрическая интерпретация лежит в основе метода Симпсона для вычисления
определенного интеграла. Весь интервал интегрирования [a,b] разбивается на
четное число одинаковых отрезков n, длина отрезка также будет равна h=(b–a)/n.
Формула Симпсона имеет вид:
)...(2)...(4)(
3
)(
2421531
nnba
b
a
fffffffff
h
dxxf
. (4.24)
В формуле выражения в скобках представляют собой суммы значений
подынтегральной функции соответственно на концах нечетных и четных
внутренних отрезков. Остаточный член формулы Симпсона пропорционален уже
четвертой степени шага:

Страницы