Корреляционный анализ. Харченко М.А. - 9 стр.

                 ⎛X⎞ ⎛            x1       ⎞ ⎛          x2        ⎞
                 ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜                ⎟⎟, ⎜⎜                 ⎟⎟ ...
                   Y        y , y  , y ...
                  ⎝ ⎠ ⎝ 11 12 13 ⎠ ⎝ 21 22 23 ⎠   y , y   , y ...
      Другими словами, изменение переменной Y при изменении X может
быть представлено в виде двух составляющих (релевантной общему фак-
тору F и иррелевантной ему), а дисперсия измеряемой величины склады-
вается из «факторной» σ F2 и «остаточной» σ 02 компонент:
                                 σ 2 = σ F2 + σ 02 .
      Факторная компонента дисперсии связана с зависимостью рассмат-
риваемых величин и определяется действием общего фактора на обе пере-
менные. Если факторная составляющая дисперсии равна нулю, изу-
чаемые величины являются независимыми.
      Остаточная компонента дисперсии обусловливает действие множе-
ства других факторов, не влияющих на обе переменные одновременно (ин-
дивидуальных различий испытуемых, ошибок измерения и др.). Остаточ-
ная дисперсия приводит к случайному разбросу значений yi при фиксиро-
ванном значении xi, поэтому она называется также «случайной». При ну-
левой случайной дисперсии наблюдается функциональная зависи-
мость между величинами (каждому значению одной величины соответ-
ствует единственное значение другой).
      Таким образом, соотношение между факторной и случайной компо-
нентами дисперсии может служить количественной мерой тесноты (силы)
корреляционной связи между величинами: чем больше доля факторной
компоненты в общей дисперсии, тем связь между величинами ближе к
функциональной.
      Отношение факторной дисперсии к полной называется коэффици-
ентом детерминации:
                             σ F2    σ F2
                           R= 2 = 2          .
                             σ    σ F + σ 02
      Коэффициент детерминации является безразмерной неотрицатель-
ной величиной, изменяющейся от 0 до 1 (его часто выражают в процентах).
Он показывает долю общей вариации одной переменной, обусловленной
изменчивостью другой переменной.
      Величина коэффициента детерминации не меняется при увеличении
или уменьшении на одно и то же число или в одно и то же число раз всех
значений переменных.
      При отсутствии какой-либо связи между рассматриваемыми величи-
нами ( σ F2 = 0) коэффициент детерминации равен нулю, а в случае функ-
циональной зависимости между ними ( σ 02 = 0, то есть когда 100 % вариа-
ции первой переменной обусловлены изменчивостью второй переменной)
коэффициент детерминации равен единице:


                                   9