Строение атома и периодическая система элементов. Хови А.М. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

10
Òàêèì îáðàçîì, çàêîíû äâèæåíèÿ ìèêðî÷àñòèö â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
âûðàæàþòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, êîòîðîå èãðàåò â íåé òó
æå ðîëü, ÷òî è çàêîíû Íüþòîíà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Êàê è çàêîíû
Íüþòîíà, ýòî óðàâíåíèå íåâîçìîæíî âûâåñòè èç êàêèõ-ëèáî áîëåå îá-
ùèõ ïîëîæåíèé. Íî îíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, èñõîäÿ èç îïðåäåëåííîé
àíàëîãèè ìåæäó âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè è óðàâíåíèÿìè ìåõàíèêè.
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:
*
2
2
2
8
()0
m
EV
h
π
ψψ
∇+ − =
, (7)
ãäå
ψψψ
ψ
∂∂∂
∇= + +
∂∂∂
222
2
222
xyz
- ñóììû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ âîëíîâîé ôóíê-
öèè ïî êîîðäèíàòàì x,y,z; m - ìàññà ýëåêòðîíà; Å - ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà;
V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé òîëüêî êîîðäèíàò: V(x,y,z).
Äëÿ àòîìà âîäîðîäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíñòâåííîãî ýëåêòðîíà
ðàâíà åãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ýíåðãèè (
=−
2
e
V
r
).
Ïîýòîìó óðàâíåíèå (7) ïðèìåò âèä:
π
ψψ
∇+ + =
22
2
2
8
()0
me
E
r
h
. (8)
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì ýìïèðè÷åñêîãî ïîä-
áîðà ïðèåìëåìîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ýëåêò-
ðîíà è âêëþ÷åíèÿ â íåãî ñîîòíîøåíèÿ äå Áðîéëÿ (5) î âîëíå-÷àñòèöå.
Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ
âäîëü îñè õ (ðèñ. 4):
2
() sin
xx
π
ψ
λ
=⋅
. (9)
*
∇
- îïåðàòîð Ëàïëàñà, êîòîðûé ïîêàçûâàåò, êàêèå äåéñòâèÿ íóæíî ïðîäåëàòü íàä ôóíêöèåé (â äàí-
íîì ñëó÷àå ψ), ÷òîáû ïîëó÷èòü íåêîòîðóþ äðóãóþ ôóíêöèþ.
Ðèñ. 4
   Òàêèì îáðàçîì, çàêîíû äâèæåíèÿ ìèêðî÷àñòèö â êâàíòîâîé ìåõàíèêå
âûðàæàþòñÿ âîëíîâûì óðàâíåíèåì Øðåäèíãåðà, êîòîðîå èãðàåò â íåé òó
æå ðîëü, ÷òî è çàêîíû Íüþòîíà â êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêå. Êàê è çàêîíû
Íüþòîíà, ýòî óðàâíåíèå íåâîçìîæíî âûâåñòè èç êàêèõ-ëèáî áîëåå îá-
ùèõ ïîëîæåíèé. Íî îíî ìîæåò áûòü ïîëó÷åíî, èñõîäÿ èç îïðåäåëåííîé
àíàëîãèè ìåæäó âîëíîâûìè óðàâíåíèÿìè è óðàâíåíèÿìè ìåõàíèêè.
   Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì â
÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ:
                                            8π 2 m
                                     2
                                   ∇ ψ* +      2
                                                   ( E − V )ψ = 0 ,                   (7)
                                             h
                 ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ
     ãäå ∇ ψ =
          2
                     +    +    - ñóììû âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ âîëíîâîé ôóíê-
                 ∂x 2 ∂y 2 ∂z2
öèè ïî êîîðäèíàòàì x,y,z; m - ìàññà ýëåêòðîíà; Å - ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà;
V - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿ ôóíêöèåé òîëüêî êîîðäèíàò: V(x,y,z).
    Äëÿ àòîìà âîäîðîäà ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíñòâåííîãî ýëåêòðîíà
                                                           e2
ðàâíà åãî ýëåêòðîñòàòè÷åñêîé ýíåðãèè ( V = −                  ).
                                                           r
     Ïîýòîìó óðàâíåíèå (7) ïðèìåò âèä:
                                          8π 2 m       e2
                                  ∇2ψ +          ( E +    )ψ = 0 .                    (8)
                                           h2          r
   Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà ìîæíî ïîëó÷èòü ïóòåì ýìïèðè÷åñêîãî ïîä-
áîðà ïðèåìëåìîãî âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ ïîâåäåíèÿ ýëåêò-
ðîíà è âêëþ÷åíèÿ â íåãî ñîîòíîøåíèÿ äå Áðîéëÿ (5) î âîëíå-÷àñòèöå.
   Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îäíîìåðíóþ âîëíó, ðàñïðîñòðàíÿþùóþñÿ
âäîëü îñè õ (ðèñ. 4):
                                                 2π
                                   ψ (x) = sin      ⋅x .                              (9)
                                                  λ




                                           Ðèñ. 4

*
 ∇ - îïåðàòîð Ëàïëàñà, êîòîðûé ïîêàçûâàåò, êàêèå äåéñòâèÿ íóæíî ïðîäåëàòü íàä ôóíêöèåé (â äàí-
íîì ñëó÷àå ψ), ÷òîáû ïîëó÷èòü íåêîòîðóþ äðóãóþ ôóíêöèþ.

10

Страницы