ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12
ψπ
ψ
∂
=− −
∂
22
22
8
()()
m
EV x
xh
. (12)
Îòñþäà, ïåðåõîäÿ ê òðåõìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó (x,y,z), ïîëó÷èì ïîë-
íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà:
222 2
222 2
8
()()
m
EV x
xyz h
ψψψ π
ψ
∂∂∂
++=− −
∂∂∂
. (13)
Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Èç
íèõ ïðèåìëåìû òîëüêî òå, êîòîðûå ïîëó÷åíû ïðè âïîëíå îïðåäåëåííûõ
(äèñêðåòíûõ) çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ýëåêòðîíà. Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ îá-
ðàçîâàíèÿ ñòîÿ÷åé âîëíû â àòîìå, êîãäà â ãðàíèöàõ àòîìà óêëàäûâàåòñÿ
öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Òîëüêî òîãäà âîëíîâûå êîëåáàíèÿ â àòîìå áóäóò
íåçàòóõàþùèìè ïðÿìûå è îáðàòíûå âîëíû íå áóäóò ãàñèòü äðóã äðóãà.
Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, à èçìå-
íÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëîì ïîëóâîëí â ãðàíèöàõ àòîìà.
Òåïåðü ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü óðàâíåíèå (13), èñõîäÿ èç âûøåèç-
ëîæåííûõ ïîçèöèé. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ îïè-
ñûâàåò êðèâèçíó ψ-ôóíêöèè, ò.å. ôîðìó âîëíû (ðèñ. 5). Èç ãðàôèêà (ðèñ.
5,à) âèäíî, ÷òî íàèìåíüøàÿ êðèâèçíà ψ-ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò îäíîé
ïîëóâîëíå, óâåëè÷åíèå êðèâèçíû (
ψ
∂
∂
2
2
x
) ïðèâîäèò ê äâóì ïîëóâîëíàì, è
ò.ä. Ñîîòíåñåì ýòî ñ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (13), ãäå ïðåäñòàâëåíà êè-
íåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (E-V). Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî
÷åì áîëüøå êðèâèçíà ôóíêöèè (áîëüøåå ÷èñëî ïîëóâîëí), òåì áîëüøå
êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå.
Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ òàêæå äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëî-
âèÿì: áûòü à) íåïðåðûâíîé, ò.ê. ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû â ïðîñòðàí-
ñòâå ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî; á) êîíå÷íîé, ò.ê. îíà íå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â
áåñêîíå÷íîñòü íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ; â) îäíîçíà÷íîé, ò.å.
äëÿ ëþáîé òî÷êè îíà ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå; ã) îáðàùàòüñÿ â
íóëü íà áåñêîíå÷íîñòè (ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ÿäðà).
Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ψ äîëæíà áûòü íîðìèðîâàííîé. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî ñóììàðíàÿ âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â îêîëîÿäåðíîì ïðî-
ñòðàíñòâå äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. Ìàòåìàòè÷åñêè óñëîâèå íîðìèðîâ-
êè çàïèñûâàåòñÿ:
2
1
dv
ψ
=
∫
, ò.å. ñóììèðîâàíèå (èíòåãðèðîâàíèå)
ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåìó îáúåìó.
Èòàê, êâàíòîâî-âîëíîâàÿ ìåõàíèêà îáîñíîâàëà óñòîé÷èâîñòü àòîìà êàê ñëåä-
∂2ψ 8π 2 m 2 = − 2 ( E − V )ψ (x) . (12) ∂x h Îòñþäà, ïåðåõîäÿ ê òðåõìåðíîìó ïðîñòðàíñòâó (x,y,z), ïîëó÷èì ïîë- íîå óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà: ∂2ψ ∂2ψ ∂2ψ 8π 2 m + + = − ( E − V )ψ (x) . (13) ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 h2 Óðàâíåíèå Øðåäèíãåðà èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Èç íèõ ïðèåìëåìû òîëüêî òå, êîòîðûå ïîëó÷åíû ïðè âïîëíå îïðåäåëåííûõ (äèñêðåòíûõ) çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ýëåêòðîíà. Ýòî ñëåäóåò èç óñëîâèÿ îá- ðàçîâàíèÿ ñòîÿ÷åé âîëíû â àòîìå, êîãäà â ãðàíèöàõ àòîìà óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí. Òîëüêî òîãäà âîëíîâûå êîëåáàíèÿ â àòîìå áóäóò íåçàòóõàþùèìè ïðÿìûå è îáðàòíûå âîëíû íå áóäóò ãàñèòü äðóã äðóãà. Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà íå ìîæåò ìåíÿòüñÿ íåïðåðûâíî, à èçìå- íÿåòñÿ ñêà÷êîîáðàçíî â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷èñëîì ïîëóâîëí â ãðàíèöàõ àòîìà. Òåïåðü ìîæíî ïðîàíàëèçèðîâàòü óðàâíåíèå (13), èñõîäÿ èç âûøåèç- ëîæåííûõ ïîçèöèé. Êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ îïè- ñûâàåò êðèâèçíó ψ-ôóíêöèè, ò.å. ôîðìó âîëíû (ðèñ. 5). Èç ãðàôèêà (ðèñ. 5,à) âèäíî, ÷òî íàèìåíüøàÿ êðèâèçíà ψ-ôóíêöèè ñîîòâåòñòâóåò îäíîé ∂ 2ψ ïîëóâîëíå, óâåëè÷åíèå êðèâèçíû ( ) ïðèâîäèò ê äâóì ïîëóâîëíàì, è ∂x 2 ò.ä. Ñîîòíåñåì ýòî ñ ïðàâîé ÷àñòüþ óðàâíåíèÿ (13), ãäå ïðåäñòàâëåíà êè- íåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà (E-V). Îòñþäà ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ÷åì áîëüøå êðèâèçíà ôóíêöèè (áîëüøåå ÷èñëî ïîëóâîëí), òåì áîëüøå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå. Âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ òàêæå äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùèì óñëî- âèÿì: áûòü à) íåïðåðûâíîé, ò.ê. ñîñòîÿíèå êâàíòîâîé ñèñòåìû â ïðîñòðàí- ñòâå ìåíÿåòñÿ íåïðåðûâíî; á) êîíå÷íîé, ò.ê. îíà íå äîëæíà îáðàùàòüñÿ â áåñêîíå÷íîñòü íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ; â) îäíîçíà÷íîé, ò.å. äëÿ ëþáîé òî÷êè îíà ìîæåò èìåòü òîëüêî îäíî çíà÷åíèå; ã) îáðàùàòüñÿ â íóëü íà áåñêîíå÷íîñòè (ïðè áåñêîíå÷íî áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ÿäðà). Êðîìå òîãî, ôóíêöèÿ ψ äîëæíà áûòü íîðìèðîâàííîé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììàðíàÿ âåðîÿòíîñòü íàõîæäåíèÿ ýëåêòðîíà â îêîëîÿäåðíîì ïðî- ñòðàíñòâå äîëæíà ðàâíÿòüñÿ åäèíèöå. Ìàòåìàòè÷åñêè óñëîâèå íîðìèðîâ- êè çàïèñûâàåòñÿ: ∫ψ 2 dv = 1 , ò.å. ñóììèðîâàíèå (èíòåãðèðîâàíèå) ïðîèçâîäèòñÿ ïî âñåìó îáúåìó. Èòàê, êâàíòîâî-âîëíîâàÿ ìåõàíèêà îáîñíîâàëà óñòîé÷èâîñòü àòîìà êàê ñëåä- 12
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »