ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
энергией E над потенциальной ямой шириной l и глубиной U
0
(см.
рис. 2) подробно рассмотрено в учебной литературе.
II
III
I
E
-U
0
l
Рис. 2. Схематическое изображение прямоугольной ямы,
над которой пролетает частица с энергией E
Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид
22
22
1
22
2
2/ в области I и III
`` 0, где
2( )/ в области II
kmE
kk
kmEU
yy
м
п
=
п
+= =
н
п
=+
п
о
h
h
(8)
Коэффициент прохождения равен отношению квадратов ам-
плитуд прошедшей и падающей волн. В итоге получим
()
()
lkkkkk
kk
D
⋅⋅+⋅+⋅⋅
⋅⋅
=
2
22
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
sin416
16
(9)
или
()
() ()
lk
UE
U
lk
kk
kk
D ⋅
+⋅
+=⋅
⋅⋅
−
+=
−
2
2
0
2
0
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
sin
4
1sin
4
1
. (10)
Видно, что коэффициент прохождения частицы над ямой имеет, в
зависимости от ее энергии, ряд чередующихся максимумов. В част-
ности, при k
2
l=
π
коэффициент прохождения равен единице, т. е.
отраженная волна отсутствует, и электрон беспрепятственно прохо-
8
дит через атом, что является квантовым аналогом просветления оп-
тики.
Таким образом, коэффициент прохождения электрона макси-
мален при условии
()
0
2
2
2
2
, 1, 2, 3...
`
mE U
kl l l nn
p
p
l
Ч +
Ч = Ч = Ч = Ч =
h
(11)
откуда
()
0
2
2 UEm
nl
+⋅
⋅⋅=
=
π
. (11а)
Для объяснения эффекта Рамзауэра не обязательно прибегать
к аппарату квантовой механики, достаточно использовать соотно-
шение де Бройля и рассмотреть интерференцию волн де Бройля.
Движущемуся электрону соответствует волна, длина которой опре-
деляется соотношением
m
v
=
⋅
=
π
λ
2
,
где m – масса электрона, v – его скорость. Если кинетическая энер-
гия электрона невелика, то
mE2
2 =
⋅
=
π
λ
.
При прохождении электрона через атом длина волны де Брой-
ля становится меньше
()
0
1
2
2
UEm +
=
=
π
λ
,
где U
0
– увеличение энергии за счет взаимодействия электрона с
атомом. При этом происходит интерференция прошедших через
атом волн 1 и 2, отраженных от передней и задней границ атома (см.
рис. 3). Пусть l – эффективный размер атома. Прошедшая волна 1
усилится волной 2, если разность хода между ними ∆ = 2l =
λ
1
– ус-
ловие 1-го интерференционного максимума, т. е. при выполнении:
()
01
2
2
2
UEm
l
+
=⋅
=
π
.
энергией E над потенциальной ямой шириной l и глубиной U0 (см. дит через атом, что является квантовым аналогом просветления оп-
рис. 2) подробно рассмотрено в учебной литературе. тики.
Таким образом, коэффициент прохождения электрона макси-
мален при условии
2p 2m Ч(E + U 0 )
I II III k2 Чl = Чl = Чl = p Чn, n = 1, 2, 3... (11)
l` h2
откуда
E
=2
l = π ⋅n⋅ . (11а)
2 m ⋅ (E + U 0 )
Для объяснения эффекта Рамзауэра не обязательно прибегать
к аппарату квантовой механики, достаточно использовать соотно-
шение де Бройля и рассмотреть интерференцию волн де Бройля.
l Движущемуся электрону соответствует волна, длина которой опре-
-U0 деляется соотношением
2π ⋅ =
Рис. 2. Схематическое изображение прямоугольной ямы, λ= ,
mv
над которой пролетает частица с энергией E где m – масса электрона, v – его скорость. Если кинетическая энер-
гия электрона невелика, то
Уравнение Шредингера в данном случае имеет вид 2π ⋅ =
м
пk12 = 2mE / h 2 в области I и III λ= .
y ``+ k 2 y = 0, где k 2 = п
н 2 (8) 2mE
п 2
оk2 = 2m( E + U ) / h в области II
п При прохождении электрона через атом длина волны де Брой-
Коэффициент прохождения равен отношению квадратов ам- ля становится меньше
плитуд прошедшей и падающей волн. В итоге получим 2π=
λ1 = ,
16 ⋅ k12 ⋅ k 22
(9) 2m(E + U 0 )
D=
16 ⋅ k12 ⋅ k 22 + 4 ⋅ (k12 + k 22 ) ⋅ sin 2 (k 2 ⋅ l ) где U0 – увеличение энергии за счет взаимодействия электрона с
или атомом. При этом происходит интерференция прошедших через
(k 2 − k 2 )2
D −1 = 1 + 1 2 2 2 sin 2 (k 2 ⋅ l ) = 1 +
U 02
sin 2 (k 2 ⋅ l ) . (10)
атом волн 1 и 2, отраженных от передней и задней границ атома (см.
рис. 3). Пусть l – эффективный размер атома. Прошедшая волна 1
4 ⋅ k1 ⋅ k 2 4 ⋅ E +U0
усилится волной 2, если разность хода между ними ∆ = 2l = λ1 – ус-
ловие 1-го интерференционного максимума, т. е. при выполнении:
Видно, что коэффициент прохождения частицы над ямой имеет, в 2π= .
2⋅l =
зависимости от ее энергии, ряд чередующихся максимумов. В част- 2m(E1 + U 0 )
ности, при k2l=π коэффициент прохождения равен единице, т. е.
отраженная волна отсутствует, и электрон беспрепятственно прохо-
7 8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
