Физика твердого тела. Хуснутдинов Р.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r) = −N
αq
2
4πε
0
r
"
1 −
1
n
r
0
r
!
n−1
#
±e
r
0
α
r
0
=
X
j,j6=i
±1
r
j
,
r
j
j
α
r
0
= 2
"
1
r
0
−
1
2r
0
+
1
3r
0
−
1
4r
0
+ . . .
#
,
α = 2
"
1 −
1
2
+
1
3
−
1
4
+ . . .
#
.
r
j
ln(1 + x) =
"
x −
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
+ . . .
#
.
2 ln 2
α = 2 ln 2
2N
±e
1/r
n
n ≫ 1
a
0
                                       "               !n−1#
                                   2
                                αq       1 r0
     Îòâåò:      U (r) = −N           1−                       .
                               4πε0 r    n r
     Ïðèìåð 2. Âû÷èñëèòü ïîñòîÿííóþ Ìàäåëóíãà äëÿ ëèíåéíîé áåñ-
êîíå÷íîé öåïî÷êè èîíîâ, ÷åðåäóþùèõñÿ ïî çíàêó ýëåêòðè÷åñêîãî çà-
ðÿäà (±e).

     åøåíèå: Âûáåðåì îòðèöàòåëüíûé èîí çà èñõîäíûé, à ÷åðåç r0
îáîçíà÷èì ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè èîíàìè. Óäîáíî ïðåäñòà-
âèòü ïîñòîÿííóþ Ìàäåëóíãà â ýêâèâàëåíòíîé îðìå:

                                   α    X ±1
                                      =      ,                                  (9)
                                   r0     rj
                                           j,j6=i

ãäå   rj    ðàññòîÿíèå èîíà ñ íîìåðîì          j   îò èñõîäíîãî. àñïèñûâàÿ ñóì-
ìó, ïîëó÷èì
                           "                                       #
                    α     1   1   1   1
                       =2   −   +   −    + ... ,                               (10)
                    r0    r0 2r0 3r0 4r0
èëè                            "                             #
                                       1 1 1
                        α =2 1−         + − + ... .                            (11)
                                       2 3 4
Ìíîæèòåëü 2 ïîÿâëÿåòñÿ ïîòîìó, ÷òî íà êàæäîì äàííîì ðàññòîÿíèè
rj   èìåþòñÿ äâà èîíà îäèíàêîâîãî çíàêà  ñïðàâà è ñëåâà. Âîñïîëü-
çóåìñÿ îðìóëîé ðàçëîæåíèÿ â ðÿä:
                                   "             #
                                   x2 x3 x4
                   ln(1 + x) = x −   +   −   +... .                            (12)
                                   2   3   4

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îäíîìåðíîé öåïî÷êè ïîñòîÿííàÿ Ìàäåëóíãà ðàâ-
íà   2 ln 2.
     Îòâåò:      α = 2 ln 2.
                                       Çàäà÷è

     1. Íàéòè ïîëíóþ ýíåðãèþ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè îäíîìåðíîãî
       èîííîãî êðèñòàëëà, ñîñòîÿùåãî èç               2N   ÷åðåäóþùèõñÿ ïî çíàêó
       çàðÿäà (±e) èîíîâ. Ñ÷èòàòü ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ îòòàëêèâà-
       íèÿ äëÿ áëèæàéøèõ ñîñåäåé ïðîïîðöèîíàëüíîé                  1/rn, ãäå n ≫ 1.
       àâíîâåñíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè                  èîíàìè ðàâíî a0 .


                                           13

Страницы