Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§0. Начальные определения и понятия
Как известно, любая наука опирается на ряд основных определений
и понятий. Для алгебры таковыми являются понятия множества, ото-
бражения и алгебраической операции.
Множеством называется произвольная совокупность объектов,
называемых элементами множества. Обычно множества обозначают
заглавными латинскими буквами A, B, C, . . . , а их элементы — про-
писными буквами a, b, c, . . . Если элемент a лежит в множестве A, то
пишут a ∈ A, в противном случае — a 6∈ A. Говорят, что A есть
подмножество множества B (обозначение: A ⊆ B ), если любой элемент
множества A лежит в B . Множества A и B равны, если A ⊆ B и
B ⊆ A. Если A ⊆ B , но B * A, то подмножество A множества B
называется собственным (в этом случае пишут: A ⊂ B ). Множество,
не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается
символом ∅. Ясно, что ∅ ⊆ A для любого множества A.
Важными примерами множеств являются известные из курса
школьной математики множества N, Z, Q, R, соответственно, нату-
ральных, целых, рациональных и вещественных чисел. Очевидно,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B ,
состоящее из всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном
из множеств A и B , то есть, A ∪ B = {c : c ∈ A или c ∈ B}.
Двойственным образом определяется пересечение множеств: A ∩ B =
{c : c ∈ A и c ∈ B}. Разностью множеств A и B называется множество
A\B = {c : c ∈ A, c 6∈ B}.
Упражнение 0.1 Докажите справедливость соотношений:
1) A ∩B ⊆ A ⊆ A ∪ B ;
2) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩C) ∪ (B ∩ C);
3) A ∩ (B\A) = ∅;
4) (A\B)\C = A\(B ∪ C).
Декартовым произведением множеств A и B называется
множество A × B , состоящее из упорядоченных пар, первый
элемент которых лежит в A, а второй — в B , то есть, A × B =
{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Данное определение легко распространяется
на любое конечное число сомножителей A
1
,. . . ,A
k
, что позволяет
3
         §0. Начальные определения и понятия
      Как известно, любая наука опирается на ряд основных определений
и понятий. Для алгебры таковыми являются понятия множества, ото-
бражения и алгебраической операции.
      Множеством называется произвольная совокупность объектов,
называемых элементами множества. Обычно множества обозначают
заглавными латинскими буквами A, B, C, . . . , а их элементы — про-
писными буквами a, b, c, . . . Если элемент a лежит в множестве A, то
пишут a ∈ A, в противном случае — a 6∈ A. Говорят, что A есть
подмножество множества B (обозначение: A ⊆ B ), если любой элемент
множества A лежит в B . Множества A и B равны, если A ⊆ B и
B ⊆ A. Если A ⊆ B , но B * A, то подмножество A множества B
называется собственным (в этом случае пишут: A ⊂ B ). Множество,
не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается
символом ∅. Ясно, что ∅ ⊆ A для любого множества A.
      Важными примерами множеств являются известные из курса
школьной математики множества N, Z, Q, R, соответственно, нату-
ральных, целых, рациональных и вещественных чисел. Очевидно,
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
      Объединением множеств A и B называется множество A ∪ B ,
состоящее из всех элементов, каждый из которых лежит хотя бы в одном
из множеств A и B , то есть, A ∪ B = {c : c ∈ A или c ∈ B}.
Двойственным образом определяется пересечение множеств: A ∩ B =
{c : c ∈ A и c ∈ B}. Разностью множеств A и B называется множество
A\B = {c : c ∈ A, c 6∈ B}.
Упражнение 0.1 Докажите справедливость соотношений:
    1) A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B ;
    2) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);
    3) A ∩ (B\A) = ∅;
    4) (A\B)\C = A\(B ∪ C).
       Декартовым произведением множеств A и B называется
множество A × B , состоящее из упорядоченных пар, первый
элемент которых лежит в A, а второй — в B , то есть, A × B =
{(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}. Данное определение легко распространяется
на любое конечное число сомножителей A1 ,. . . ,Ak , что позволяет

                                  3

Страницы