Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 7 стр.

  терминология        знак           e                       a0
  мультипликатив-       ·  единичный элемент,      обратный элемент,
  ная                      единица, e, 1           a−1
  аддитивная           + нейтральный эле-          противоположный
                           мент, нуль, 0           элемент, −a
                                  Таб. 1
     Система (R, +, ·) называется кольцом, если
     1) (R, +) — абелева группа;
     2) для всех a, b, c ∈ R верно (a + b)c = ac + bc и a(b + c) = ab + ac
(дистрибутивность).
     Если умножение в R обладает дополнительными свойствами,
например, ассоциативностью, коммутативностью или в кольце существует
единица, то говорят, что кольцо R ассоциативно, коммутативно или,
соответственно, обладает единицей. Если (R\{0}, ·) — абелева группа,
то кольцо R называется полем.
     Непосредственно проверяется, что относительно обычных операций
сложения и умножения множество Z образует коммутативное
ассоциативное кольцо с единицей, множество четных чисел —
коммутативное ассоциативное кольцо без единицы, а Q и R являются
полями.

                 §1. Поле комплексных чисел
     В уже упоминавшейся ранее цепочке N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R каждое
последующее множество обладает более “хорошими” алгебраическими
свойствами по сравнению с предыдущим: натуральные числа можно
только складывать и умножать, целые — еще и вычитать, рациональные
— делить (если делитель отличен от 0), из неотрицательных
вещественных чисел можно извлекать арифметические корни. Нельзя
ли еще расширить поле вещественных чисел так, чтобы получившееся
множество по прежнему являлось полем, но при этом корни извлекались
бы из всех чисел? Оказывается, можно, и соответствующее множество,
которое сейчас будет построено, называется полем комплексных чисел.




                                    5