Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 9 стр.

Легко видеть, что роль единицы в C играет элемент (1,0). Наконец,
покажем, что любой отличный от (0,0) элемент (a, b) обладает обратным
элементом. В самом деле,
           µ                ¶
               a       −b
     (a, b) 2      ,          =
             a + b2 a2µ+ b2                              ¶
                           a2      b2     ab         ab
                               +       ,−      +           = (1, 0),
                        a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2
откуда ввиду коммутативности умножения
                  µ                 ¶
                       a      −b
                           ,          (a, b) = (1, 0).
                    a2 + b2 a2 + b2
Теорема доказана. C
      Итак, поле C комплексных чисел построено. Заметим, что числа
вида (a, 0), где a ∈ R, складываются и перемножаются так же, как
и вещественные числа: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).
Поэтому для упрощения записи можно отождествить такие комплексные
числа с вещественными и вместо (a, 0) писать просто a. В этом смысле
можно считать, что R ⊆ C. Отметим также, что a(b, c) = (a, 0)(b, c) =
(ab, ac). Следовательно,

                    (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + b(0, 1).

Обозначив (0, 1) через i, получаем представление комплексного числа
z = (a, b) в алгебраической форме:

                                 z = a + bi.

Число i называют мнимой единицей, его замечательное свойство состоит
в том, что i2 = −1. В самом деле,

                     i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1.

Последнее равенство, в частности, доказывает, что полученное ранее
включение R ⊆ C является строгим: R ⊂ C.
     Вещественные числа a и b в представлении комплексного числа
z = a + bi называются его вещественной и мнимой частями и обозна-
чаются Re z и Im z , соответственно. Таким образом, число z является
вещественным тогда и только тогда, когда его мнимая часть равна 0.

                                      7