Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.1 Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая
форма комплексного числа
Пусть C = R × R. Зададим на C операции сложения и умножения,
положив
(a
1
, b
1
) + (a
2
, b
2
) = (a
1
+ a
2
, b
1
+ b
2
),
(a
1
, b
1
)(a
2
, b
2
) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
, a
1
b
2
+ b
1
a
2
)
для всех (a
1
, b
1
), (a
2
, b
2
) ∈ C. (Для обозначения операций сложения и
умножения пар используются те же знаки “ +” и “ ·”, что и для сложения
и умножения вещественных чисел. Это не совсем корректно, но удобно.)
Теорема 1.1 (C, +, ·) — поле.
Доказательство. Ассоциативность и коммутативность сложения в C
немедленно вытекают из аналогичных свойств сложения вещественных
чисел. (Например, (a
1
, b
1
)+(a
2
, b
2
) = (a
1
+a
2
, b
1
+b
2
) = (a
2
+a
1
, b
2
+b
1
) =
(a
2
, b
2
) + (a
1
, b
1
).) Нулем будет элемент (0,0), а противоположным к (a, b)
элементом — элемент (−a, −b). Вполне очевидна и коммутативность
умножения. Для проверки ассоциативности умножения вычислим
выражение
¡
(a
1
, b
1
)(a
2
, b
2
)
¢
(a
3
, b
3
):
¡
(a
1
, b
1
)(a
2
, b
2
)
¢
(a
3
, b
3
) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
, a
1
b
2
+ b
1
a
2
)(a
3
, b
3
) =
(a
1
a
2
a
3
− b
1
b
2
a
3
− a
1
b
2
b
3
− b
1
a
2
b
3
, a
1
a
2
b
3
− b
1
b
2
b
3
+ a
1
b
2
a
3
+ b
1
a
2
a
3
).
Непосредственно проверяется, что вычисление выражения
(a
1
, b
1
)
¡
(a
2
, b
2
)(a
3
, b
3
)
¢
дает тот же результат. Проверим дистрибутив-
ность:
¡
(a
1
, b
1
) + (a
2
, b
2
)
¢
(a
3
, b
3
) =
(a
1
a
3
+ a
2
a
3
− b
1
b
3
− b
2
b
3
, a
1
b
3
+ a
2
b
3
+ b
1
a
3
+ b
2
a
3
) =
(a
1
a
3
− b
1
b
3
, a
1
b
3
+ b
1
a
3
) + (a
2
a
3
− b
2
b
3
, a
2
b
3
+ b
2
a
3
) =
(a
1
, b
1
)(a
3
, b
3
) + (a
2
, b
2
)(a
3
, b
3
),
следовательно,
¡
(a
1
, b
1
) + (a
2
, b
2
)
¢
(a
3
, b
3
) = (a
1
, b
1
)(a
3
, b
3
) + (a
2
, b
2
)(a
3
, b
3
).
С учетом коммутативности умножения получаем второй закон
дистрибутивности
(a
1
, b
1
)
¡
(a
2
, b
2
) + (a
3
, b
3
)
¢
= (a
1
, b
1
)(a
2
, b
2
) + (a
1
, b
1
)(a
3
, b
3
).
6
    1.1 Построение поля комплексных чисел. Алгебраическая
                  форма комплексного числа

     Пусть C = R × R. Зададим на C операции сложения и умножения,
положив
                (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ),
              (a1 , b1 )(a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )
для всех (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ C. (Для обозначения операций сложения и
умножения пар используются те же знаки “ +” и “ ·”, что и для сложения
и умножения вещественных чисел. Это не совсем корректно, но удобно.)
Теорема 1.1 (C, +, ·) — поле.
Доказательство. Ассоциативность и коммутативность сложения в C
немедленно вытекают из аналогичных свойств сложения вещественных
чисел. (Например, (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 ) = (a2 + a1 , b2 + b1 ) =
(a2 , b2 ) + (a1 , b1 ).) Нулем будет элемент (0,0), а противоположным к (a, b)
элементом — элемент (−a, −b). Вполне очевидна и коммутативность
умножения. Для проверки ассоциативности умножения вычислим
                 ¡                   ¢
выражение (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a3 , b3 ):
           ¡                    ¢
            (a1 , b1 )(a2 , b2 ) (a3 , b3 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )(a3 , b3 ) =
     (a1 a2 a3 − b1 b2 a3 − a1 b2 b3 − b1 a2 b3 , a1 a2 b3 − b1 b2 b3 + a1 b2 a3 + b1 a2 a3 ).

Непосредственно                проверяется,         что          вычисление            выражения
          ¡                    ¢
(a1 , b1 ) (a2 , b2 )(a3 , b3 ) дает тот же результат. Проверим дистрибутив-
ность:
       ¡                        ¢
         (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) (a3 , b3 ) =
                (a1 a3 + a2 a3 − b1 b3 − b2 b3 , a1 b3 + a2 b3 + b1 a3 + b2 a3 ) =
                (a1 a3 − b1 b3 , a1 b3 + b1 a3 ) + (a2 a3 − b2 b3 , a2 b3 + b2 a3 ) =
                                                       (a1 , b1 )(a3 , b3 ) + (a2 , b2 )(a3 , b3 ),
следовательно,
       ¡                        ¢
         (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) (a3 , b3 ) = (a1 , b1 )(a3 , b3 ) + (a2 , b2 )(a3 , b3 ).

С учетом коммутативности умножения получаем второй                                           закон
дистрибутивности
                 ¡                       ¢
       (a1 , b1 ) (a2 , b2 ) + (a3 , b3 ) = (a1 , b1 )(a2 , b2 ) + (a1 , b1 )(a3 , b3 ).

                                                 6

Страницы