Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Если же у ненулевого числа z равна нулю вещественная часть, то такое
число называют чисто мнимым.
Легко видеть, что введенные выше операции сложения и умножения
комплексных чисел при переходе к алгебраической форме принимают вид
(a
1
+ b
1
i) + (a
2
+ b
2
i) = (a
1
+ a
2
) + (b
1
+ b
2
)i,
(a
1
+ b
1
i)(a
2
+ b
2
i) = (a
1
a
2
− b
1
b
2
) + (a
1
b
2
+ b
1
a
2
)i,
что соответствует обычным правилам преобразований буквенных
выражений с учетом равенства i
2
= −1.
Каждому комплексному числу z = a + bi можно сопоставить
комплексно-сопряженное число ¯z = a −bi. В качестве упражнения дока-
жите следующие свойства:
1
◦
.
¯
¯z = z ;
2
◦
. ¯z = z ⇔ Im z = 0;
3
◦
. ¯z = −z ⇔ Re z = 0;
4
◦
. z + ¯z = 2 Re z ∈ R;
5
◦
. z¯z = (Re z)
2
+ (Im z)
2
≥ 0, причем z¯z = 0 ⇔ z = 0.
Последнее свойство объясняет вид числа z
−1
в доказательстве
теоремы 1.1:
z
−1
=
1
z
=
¯z
z¯z
=
a − bi
a
2
+ b
2
=
a
a
2
+ b
2
+
−b
a
2
+ b
2
i.
Приведем еще несколько свойств операции комплексного сопряжения:
6
◦
. z
1
± z
2
= ¯z
1
± ¯z
2
;
7
◦
. z
1
z
2
= ¯z
1
¯z
2
;
8
◦
.
³
z
1
z
2
´
=
¯z
1
¯z
2
.
1.2 Тригонометрическая форма комплексных чисел
Как известно, вещественные числа принято изображать точками на
вещественной прямой. Для комплексных чисел естественно дополнить
вещественную ось абсцисс мнимой осью ординат и изображать число
z = a + bi точкой на плоскости с координатами (a, b).
Каждое комплексное число z = a + bi можно также отождествить
с вектором, выходящим из начала координат и заканчивающимся в
точке (a, b). Легко видеть, что сложение/вычитание комплексных чисел
согласуется со сложением/вычитанием соответствующих векторов.
8
Если же у ненулевого числа z равна нулю вещественная часть, то такое
число называют чисто мнимым.
     Легко видеть, что введенные выше операции сложения и умножения
комплексных чисел при переходе к алгебраической форме принимают вид

             (a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 )i,
          (a1 + b1 i)(a2 + b2 i) = (a1 a2 − b1 b2 ) + (a1 b2 + b1 a2 )i,
что соответствует обычным правилам преобразований буквенных
выражений с учетом равенства i2 = −1.
     Каждому комплексному числу z = a + bi можно сопоставить
комплексно-сопряженное число z̄ = a − bi. В качестве упражнения дока-
жите следующие свойства:
     1◦ . z̄¯ = z ;
     2◦ . z̄ = z ⇔ Im z = 0;
     3◦ . z̄ = −z ⇔ Re z = 0;
     4◦ . z + z̄ = 2 Re z ∈ R;
     5◦ . z z̄ = (Re z)2 + (Im z)2 ≥ 0, причем z z̄ = 0 ⇔ z = 0.
Последнее свойство объясняет вид числа z −1 в доказательстве
теоремы 1.1:
                      1    z̄    a − bi      a      −b
             z −1 =     =      = 2      =        +        i.
                      z   z z̄  a + b2    a2 + b2 a2 + b2
Приведем еще несколько свойств операции комплексного сопряжения:
     6◦ . z1 ± z2 = z̄1 ± z̄2 ;
     7◦ . z1 z2 = z̄1 z̄2 ;
         ³ ´ z̄
      ◦ z1         1
     8 .       = .
          z2     z̄2
      1.2 Тригонометрическая форма комплексных чисел

      Как известно, вещественные числа принято изображать точками на
вещественной прямой. Для комплексных чисел естественно дополнить
вещественную ось абсцисс мнимой осью ординат и изображать число
z = a + bi точкой на плоскости с координатами (a, b).
      Каждое комплексное число z = a + bi можно также отождествить
с вектором, выходящим из начала координат и заканчивающимся в
точке (a, b). Легко видеть, что сложение/вычитание комплексных чисел
согласуется со сложением/вычитанием соответствующих векторов.

                                        8

Страницы