Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

другими словами, при умножении комплексных чилел их модули
перемножаются, а аргументы складываются. Применяя данное
правило к произведению одинаковых сомножителей, получаем формулу
Муавра:
¡
r(cos ϕ + i sin ϕ)
¢
n
= r
n
(cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
Если z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то
z
−1
=
¯z
z¯z
=
r(cos ϕ − i sin ϕ)
r
2
=
1
r
(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)),
значит, |z
−1
| = |z|
−1
, arg z
−1
= −arg z , так что
¯
¯
¯
¯
z
1
z
2
¯
¯
¯
¯
=
|z
1
|
|z
2
|
, arg
³
z
1
z
2
´
= arg z
1
− arg z
2
,
то есть, при делении комплексных чисел модуль первого числа делится
на модуль второго и из аргумента первого числа вычитается аргумент
второго.
Напомним, что |z| — это длина вектора, соответствующего числу
z , поэтому приведенные выше свойства модуля можно дополнить
неравенством треугольника:
¯
¯
¯
|z
1
| − |z
2
|
¯
¯
¯
≤ |z
1
± z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
В самом деле, неравенство |z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
| есть переформулировка
известного геометрического факта, что длина любой стороны
треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон.
Воспользовавшись этим неравенством, получаем
|z
1
| = |(z
1
+ z
2
) − z
2
| ≤ |z
1
+ z
2
| + | − z
2
| = |z
1
+ z
2
| + |z
2
|,
откуда
|z
1
| − |z
2
| ≤ |z
1
+ z
2
|.
Аналогично доказывается неравенство |z
2
| − |z
1
| ≤ |z
1
+ z
2
|, так что
¯
¯
¯
|z
1
| − |z
2
|
¯
¯
¯
≤ |z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|.
Для завершения доказательства осталось заменить в последней цепочке
неравенств z
2
на −z
2
.C
10
другими словами, при умножении комплексных чилел их модули
перемножаются, а аргументы складываются. Применяя данное
правило к произведению одинаковых сомножителей, получаем формулу
Муавра:
             ¡                  ¢n
              r(cos ϕ + i sin ϕ) = rn (cos(nϕ) + i sin(nϕ)).
     Если z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то
                    z̄    r(cos ϕ − i sin ϕ) 1
          z −1 =        =                   = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)),
                   z z̄           r2         r
значит, |z −1 | = |z|−1 , arg z −1 = − arg z , так что
                   ¯ ¯                ³z ´
                   ¯ z1 ¯ |z1 |          1
                   ¯ ¯=
                   ¯ z2 ¯ |z2 | , arg z2 = arg z1 − arg z2 ,

то есть, при делении комплексных чисел модуль первого числа делится
на модуль второго и из аргумента первого числа вычитается аргумент
второго.
      Напомним, что |z| — это длина вектора, соответствующего числу
z , поэтому приведенные выше свойства модуля можно дополнить
неравенством треугольника:
                   ¯             ¯
                   ¯             ¯
                   ¯|z1 | − |z2 |¯ ≤ |z1 ± z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

В самом деле, неравенство |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | есть переформулировка
известного геометрического факта, что длина любой стороны
треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон.
Воспользовавшись этим неравенством, получаем

         |z1 | = |(z1 + z2 ) − z2 | ≤ |z1 + z2 | + | − z2 | = |z1 + z2 | + |z2 |,

откуда
                                |z1 | − |z2 | ≤ |z1 + z2 |.
Аналогично доказывается неравенство |z2 | − |z1 | ≤ |z1 + z2 |, так что
                 ¯             ¯
                 ¯             ¯
                 ¯|z1 | − |z2 |¯ ≤ |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.

Для завершения доказательства осталось заменить в последней цепочке
неравенств z2 на −z2 .C


                                            10

Страницы