Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.3 Извлечение корней из комплексных чисел
Как было показано выше, тригонометрическая форма комплексных
чисел удобна для их умножения, деления и возведения в степень. То же
относится и к извлечению корней.
Пусть n ∈ N, z ∈ C. Обозначим через
n
√
z множество {w ∈ C :
w
n
= z} корней степени n из числа z. Выясним, как оно устроено.
Пусть w ∈
n
√
z . Представим z и w в тригонометрической форме:
z = r(cos ϕ + i sin ϕ), w = ρ(cos ψ + i sin ψ).
Тогда по формуле Муавра имеем z = w
n
= ρ
n
(cos(nψ) + i sin(nψ)),
следовательно,
r = ρ
n
, nψ = ϕ + 2πk, k ∈ Z,
откуда
ρ =
n
√
r (— арифметический корень(!)), ψ =
ϕ + 2πk
n
.
Таким образом, каждое входящее в
n
√
z число имеет вид
w
k
=
n
√
r
µ
cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
, k ∈ Z. (1.1)
Заметим, что
w
n+k
=
n
√
r
µ
cos
ϕ + 2π(k + n)
n
+ i sin
ϕ + 2π(k + n)
n
=
n
√
r
µ
cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
= w
k
,
при всех k ∈ Z, так что числа w
k
циклически повторяются через каждые
n шагов, следовательно, окончательно имеем
n
√
z = {w
0
, w
1
, . . . , w
n−1
}. (1.2)
В частности, при z = 1 получаем формулу для нахождения комплексных
корней из единицы:
n
√
1 = {²
0
, ²
1
, . . . , ²
n−1
}, где
²
k
= cos
2πk
n
+ i sin
2πk
n
для всех k.
Множество
n
√
1 обычно обозначают через U
n
. Используя правила
арифметических действий с комплексными числами в тригонометри-
ческой форме и учитывая доказанную выше циклическую повторяемость
11
          1.3 Извлечение корней из комплексных чисел

     Как было показано выше, тригонометрическая форма комплексных
чисел удобна для их умножения, деления и возведения в степень. То же
относится и к извлечению корней.
                                            √
     Пусть n ∈ N, z ∈ C. Обозначим через n z множество {w ∈ C :
wn = z} корней степени n из числа z . Выясним, как оно устроено.
                √
     Пусть w ∈ n z . Представим z и w в тригонометрической форме:

               z = r(cos ϕ + i sin ϕ),     w = ρ(cos ψ + i sin ψ).

Тогда по формуле Муавра имеем z = wn = ρn (cos(nψ) + i sin(nψ)),
следовательно,
                 r = ρn , nψ = ϕ + 2πk, k ∈ Z,
откуда
              √                                       ϕ + 2πk
         ρ= r (— арифметический корень(!)),
              n
                                                 ψ=           .
                                                         n
                                 √
Таким образом, каждое входящее в n z число имеет вид
                   µ                            ¶
                 √      ϕ + 2πk         ϕ + 2πk
           wk = r cos
                 n
                                + i sin           , k ∈ Z.             (1.1)
                           n               n
Заметим, что
                       µ                                           ¶
                  √      ϕ + 2π(k + n)               ϕ + 2π(k + n)
        wn+k = r cos
                  n
                                            + i sin                  =
                                n                           n
                    µ                                    ¶
                 √        ϕ + 2πk             ϕ + 2πk
                 n
                   r cos          + i sin                  = wk ,
                             n                     n
при всех k ∈ Z, так что числа wk циклически повторяются через каждые
n шагов, следовательно, окончательно имеем
                        √n
                           z = {w0 , w1 , . . . , wn−1 }.              (1.2)

В частности, при z = 1 получаем формулу для нахождения комплексных
                    √
корней из единицы: n 1 = {²0 , ²1 , . . . , ²n−1 }, где
                                 2πk         2πk
                      ²k = cos       + i sin     для всех k.
                                  n           n
            √
Множество n 1 обычно обозначают через Un . Используя правила
арифметических действий с комплексными числами в тригонометри-
ческой форме и учитывая доказанную выше циклическую повторяемость

                                         11

Страницы