Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 15 стр.

поэлементно. Поскольку сложение в K коммутативно и ассоциативно,
теми же свойствами обладает сложение матриц:
      1.1. A + B = B + A.
      1.2. (A + B) + C = A + (B + C).
      Обозначив через 0 матрицу, все элементы которой равны 0, а
через −A — матрицу, составленную из элементов, противоположных к
элементам матрицы A, получаем еще два свойства:
      1.3. Существует матрица 0 такая, что A + 0 = 0 + A = A для любой
матрицы A.
      1.4. Для всякой матрицы A существует противоположная матрица
−A такая, что A + (−A) = −A + A = 0.
      Свойства 1.1−1.4 означают, что множество матриц фиксированных
размеров над K образует относительно сложения абелеву группу.
      2. Умножение матриц на элементы поля. Пусть A = (aij ) — m × n-
матрица, λ ∈ K . Под λA понимается матрица B = (bij ) тех же размеров,
где bij = λaij при всех i, j . Таким образом, чтобы умножить матрицу
A на λ, нужно умножить на λ каждый ее элемент. Вполне очевидны
свойства:
      2.1. (λµ)A = λ(µA).
      2.2. λ(A + B) = λA + λB .
      2.3. (λ + µ)A = λA + µA.
      2.4. 1·A = A (1 ∈ K ).
      В терминах линейной алгебры свойства 1.1–1.4, 2.1–2.4 означают,
что множество матриц фиксированных размеров с элементами из K
является векторным пространством над K .
      3. Умножение матриц. Пусть A = (aij ) — m × n-матрица, B = (bij )
— n × k -матрица. Произведением матриц A и B называется m × k -
матрица C = (cij ), элементы которой при всех i, j вычисляются по
правилу:
                                     n
                                     X
                               cij =   ail blj .
                                  l=1
Умножение матриц обладает следующими свойствами:
    3.1. (AB)C = A(BC).
    3.2. (A + B)C = AC + BC .
    3.3. A(B + C) = AB + AC .


                                  13