Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 17 стр.

       В дальнейшем нам понадобятся матричные единицы — матрицы
Eij , устроенные следующим образом: (i, j)-элемент матрицы Eij равен
1, а все остальные элементы — нулевые. Легко проверяется правило
умножения матричных единиц:
                           (
                             Eil , если j = k,
                 Eij Ekl =
                              0, в противном случае.

       4. Транспонирование. Транспонированной к m × n-матрице A =
(aij ) называется n × m-матрица At = (a0ij ), где a0ij = aji для всех i, j .
Таким образом, строки матрицы A являются столбцами матрицы At и
наоборот. Свойства операции транспонирования:
       4.1. (At )t = A.
       4.2. (A + B)t = At + B t .
       4.3. (λA)t = λAt .
       4.4. (AB)t = B t At .
       Доказательство. Свойства 4.1–4.3 вполне очевидны. Докажем 4.4.
Для всех i, j имеем:
        ¡      ¢              X             X                  ¡      ¢
          (AB)t ij = (AB)ji =     ajk bki =  (B t )ik (At )kj = B t At ij ,
                              k            k

что и требовалось. C

 2.2 Элементарные преобразования и элементарные матрицы

     Каждую матрицу можно рассматривать как упорядоченный
набор строк и/или столбцов. Эти наборы можно изменять по опре-
деленным правилам, особо выделяют так называемые элементарные
преобразования. Ниже будут рассматриваться преимущественно элемен-
тарные преобразования строк, проведение аналогичных рассуждений о
преобразованиях столбцов оставляется в качестве упражнения.
     1. Пусть s 6= t. Обозначим через Fst преобразование, меняющее
местами s-ю и t-ю строки матрицы. Такое преобразование называют
элементарным преобразованием I-го рода.
     2. Пусть s 6= t, λ ∈ K . Прибавим к t-й строке матрицы s-ю строку,
предварительно умноженную на λ. Такое преобразование обозначается
через Fst (λ) и называется элементарным преобразованием II-го рода.


                                     15