Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3. Умножим все элементы s-й строки на λ 6= 0. Назовем такое
преобразование F
s
(λ) элементарным преобразованием III-го рода.
Применим перечисленные выше преобразования к матрице A,
действуя по следующему алгоритму.
1) Двигаясь сверху вниз, ищем в первом столбце отличный от нуля
элемент. Если его нет, то повторяем алгоритм для матрицы, полученной
из исходной вычеркиванием первого столбца. Если просмотренный
нулевой столбец оказался последним, то алгоритм завершен. Теперь
предположим, что найден ненулевой элемент a
i1
. Поменяем местами 1-ю
и i-ю строки (то есть, применим F
1i
). Получим матрицу
˜
A = (˜a
ij
), где
˜a
11
= a
i1
6= 0.
2) Для каждого i > 1 последовательно применим преобразование
F
1i
(−˜a
i1
/˜a
11
). В результате получим матрицу, в которой все элементы
первого столбца (кроме, разумеется, первого элемента) равны 0. Теперь
мысленно вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец и,
если еще остались строки и столбцы, повторяем алгоритм с шага 1) для
оставшейся части матрицы; если же строк и столбцов не осталось, то
работа алгоритма закончена.
Нетрудно понять, что после таких преобразований матрица примет
вид
0 . . . ¯a
1j
1
. . . ¯a
1j
2
. . . ¯a
1j
r
. . .
0 . . . 0 . . . ¯a
2j
2
. . . ¯a
2j
r
. . .
. . . . . .
0 . . . 0 . . . 0 . . . ¯a
rj
r
. . .
0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . .
. . . . . .
0 . . . 0 . . . 0 . . . 0 . . .
, (2.1)
называемый ступенчатым, а сам процесс преобразования матрицы
называют приведением к ступенчатому виду. Отметим, что в матрице
ступенчатого вида нулевых столбцов слева и нулевых строк внизу может
не быть. Подчеркнем также, что элементы
¯
a
1j
1
,
¯
a
2j
2
,. . . ,
¯
a
rj
r
, находящиеся
в вершинах “ступенек”, отличны от нуля. Итак, доказана
Лемма 2.1 Любая матрица элементарными преобразованиями строк
I-го и II-го рода может быть приведена к ступенчатому виду.C
Каждому элементарному преобразованию сопоставим элементарную
16
       3. Умножим все элементы s-й строки на λ 6= 0. Назовем такое
преобразование Fs (λ) элементарным преобразованием III-го рода.
       Применим перечисленные выше преобразования к матрице A,
действуя по следующему алгоритму.
       1) Двигаясь сверху вниз, ищем в первом столбце отличный от нуля
элемент. Если его нет, то повторяем алгоритм для матрицы, полученной
из исходной вычеркиванием первого столбца. Если просмотренный
нулевой столбец оказался последним, то алгоритм завершен. Теперь
предположим, что найден ненулевой элемент ai1 . Поменяем местами 1-ю
и i-ю строки (то есть, применим F1i ). Получим матрицу Ã = (ãij ), где
ã11 = ai1 6= 0.
       2) Для каждого i > 1 последовательно применим преобразование
F1i (−ãi1 /ã11 ). В результате получим матрицу, в которой все элементы
первого столбца (кроме, разумеется, первого элемента) равны 0. Теперь
мысленно вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец и,
если еще остались строки и столбцы, повторяем алгоритм с шага 1) для
оставшейся части матрицы; если же строк и столбцов не осталось, то
работа алгоритма закончена.
       Нетрудно понять, что после таких преобразований матрица примет
вид                                                               
                      0 . . . ā1j1 . . . ā1j2 . . . ā1jr . . .
                     0 ...     0 . . . ā2j2 . . . ā2jr . . . 
                                                                  
                                                                  
                             . . .             . . .              
                                                                  
                     0 ...     0   . . .   0   . . .  ā    . . . ,       (2.1)
                                                        rjr       
                                                                  
                     0 ...     0 ...       0 ...       0 ... 
                                                                  
                             ...               ...                
                      0 ...     0 ...       0 ...       0 ...
называемый ступенчатым, а сам процесс преобразования матрицы
называют приведением к ступенчатому виду. Отметим, что в матрице
ступенчатого вида нулевых столбцов слева и нулевых строк внизу может
не быть. Подчеркнем также, что элементы ā1j1 ,ā2j2 ,. . . ,ārjr , находящиеся
в вершинах “ступенек”, отличны от нуля. Итак, доказана
Лемма 2.1 Любая матрица элементарными преобразованиями строк
I-го и II-го рода может быть приведена к ступенчатому виду.C
Каждому элементарному преобразованию сопоставим элементарную

                                       16

Страницы