Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 19 стр.

матрицу:
    1. Fst = E − Ess − Ett + Est + Ets — I-го рода,
    2. Fst (λ) = E + λEts — II-го рода,
    3. Fs (λ) = E + (λ − 1)Ess — III-го рода.
    Непосредственно проверяется
Лемма 2.2 Выполнение элементарного преобразования строк матрицы
равносильно ее домножению слева на соответствующую элементарную
матрицу.C

                      2.3 Обратимые матрицы

     Элементарные преобразования и элементарные матрицы имеют
многочисленные применения. Одно из них — проверка обратимости
матрицы и нахождение обратной матрицы.
     Матрица A называется обратимой справа (слева), если существует
такая матрица B , что AB = E (BA = E ), при этом B называют
обратной правой (левой) к A матрицей. Матрица обратима, если она
одновременно обратима справа и слева. Отметим, что в последнем случае
обратная правая и обратная левая матрицы совпадают. В самом деле,
если AB = E и CA = E , то B = EB = CAB = CE = C . Поэтому
матрицу B называют просто обратной к A матрицей и обозначают A−1 .
Упражнение 2.1
    1. Если A обратима, то (At )−1 = (A−1 )t .
    2. Если A и B обратимы, то (AB)−1 = B −1 A−1 .
Лемма 2.3 Все элементарные матрицы обратимы.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что      Fst−1   =   Fst ,
(Fst (λ))−1 = Fst (−λ), (Fs (λ))−1 = Fs (λ−1 ). C
Предложение 2.4 Если матрица A обратима справа, то в ней
элементарными преобразованиями строк невозможно получить
нулевую строку.
Доказательство. Если A обратима справа, то для некоторой матрицы
B верно равенство AB = E . Следовательно, в A нет нулевых строк,
поскольку в противном случае произведение AB также содержало бы
нулевую строку. Предположим теперь, что некоторыми элементарными

                                  17