Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 21 стр.

тельства матрица B обратима слева, а значит, обратима, так что A = B −1
и, в частности, AB = E . Таким образом, A обратима справа. C
      Подчеркнем важное обстоятельство: в процессе доказательства
теоремы 2.6 было установлено, что обратная к A матрица является
произведением элементарных матриц, соответствующих элементарным
преобразованиям строк, приводящих A к единичной матрице. А именно,
если F1 ,. . . , Fk — соответствующая последовательность элементарных
преобразований и F1 ,. . . , Fk — последовательность отвечающих этим
преобразованиям элементарных матриц, то A−1 = Fk . . . F1 . На этой
формуле основан следующий
     Способ нахождения обратной матрицы.
Приписав справа к матрице A единичную матрицу того же порядка,
составим n × 2n-матрицу (A|E). С помощью элементарных преобра-
зований строк приведем ее к ступенчатому виду. Если при этом в матрице
A появляется нулевая строка, то ввиду предложения 2.4 матрица A не
имеет обратной. Если же нулевых строк нет, то согласно первой части
доказательства теоремы 2.6 матрицу (A|E) можно привести к такому
виду, чтобы в первых ее n столбцах получилась матрица E . Тогда
последние n столбцов образуют матрицу A−1 .
Обоснование. Элементы n первых и n последних столбцов n × 2n-
матрицы (A|E) меняются по одним и тем же правилам, поэтому если
Fk . . . F1 A = E , то Fk . . . F1 E = Fk . . . F1 = A−1 . C
     В заключение отметим, что обратные матрицы можно использовать
для решения матричных уравнений. В самом деле, пусть требуется
решить матричное уравнение AX = B , где A и B — заданные матрицы,
а X — неизвестная матрица. Очевидно, что если матрица A обратима,
то единственным решением будет матрица X = A−1 B . Аналогично,
единственным решением уравнения Y A = B в случае обратимости
матрицы A является матрица Y = BA−1 .
     Полученные формулы можно использовать и для решения систем
линейных уравнений при некоторых дополнительных условиях. Пусть




                                  19