Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

дана система
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ··· + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . .
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ ··· + a
nn
x
n
= b
n
Легко видеть, что она может быть переписана в матричном виде Ax = b,
где
A =
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
n1
a
n2
. . . a
nn
, x =
x
1
x
2
.
.
.
x
n
, b =
b
1
b
2
.
.
.
b
n
.
Если A обратима, то система имеет единственное решение x = A
−1
b.
2.4 Ранг матрицы
Для дальнейшего изложения нам понадобится ряд понятий и
результатов из курса линейной алгебры. (Более подробно о перечис-
ленных ниже фактах и их доказательствах см., напр., [2], [7].)
Система {a
1
, . . . , a
k
} векторов линейного пространства V над полем
K называется линейно зависимой, если существуют такие λ
1
,. . . , λ
k
∈ K ,
не все равные нулю, что
P
i
λ
i
a
i
= 0. В противном случае система
называется линейно независимой.
Система {a
1
, . . . , a
n
} называется максимально линейно незави-
симой, если 1) она линейно независима, 2) добавление к ней любого
вектора превращает ее в линейно зависимую систему.
Система {a
1
, . . . , a
n
} называется базисом, если 1) она линейно
независима, 2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.
Каждая максимально линейно независимая система является
базисом, и наоборот. Количество векторов в базисе пространства V
называется его размерностью и обозначается dim V . Размерность
пространства не зависит от выбора базиса.
Аналогично определяется понятие базиса конечной системы
векторов. Вместо слова “размерность” в этом случае употребляют термин
ранг.
20
дана система      
                  
                   a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1
                  
                   a x + a x + ··· + a x = b
                     21 1     22 2             2n n     2
                  
                        ...     ...       ...
                  
                  
                    an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
Легко видеть, что она может быть переписана в матричном виде Ax = b,
где
                                                      
              a11 a12 . . . a1n           x1            b1
            a a ... a                 x           b 
            21 22           2n         2           2 
       A =  ..     .
                    .. .      . 
                         . . ..  , x =   .  ,  b =  ..  .
            .                           ..          . 
              an1 an2 . . . ann           xn            bn

Если A обратима, то система имеет единственное решение x = A−1 b.

                           2.4 Ранг матрицы

     Для дальнейшего изложения нам понадобится ряд понятий и
результатов из курса линейной алгебры. (Более подробно о перечис-
ленных ниже фактах и их доказательствах см., напр., [2], [7].)
     Система {a1 , . . . , ak } векторов линейного пространства V над полем
K называется линейно зависимой, если существуют такие λ1 ,. . . , λk ∈ K ,
                                 P
не все равные нулю, что             λi ai = 0. В противном случае система
                             i
называется линейно независимой.
      Система {a1 , . . . , an } называется максимально линейно незави-
симой, если 1) она линейно независима, 2) добавление к ней любого
вектора превращает ее в линейно зависимую систему.
      Система {a1 , . . . , an } называется базисом, если 1) она линейно
независима, 2) любой вектор пространства через нее линейно выражается.
      Каждая максимально линейно независимая система является
базисом, и наоборот. Количество векторов в базисе пространства V
называется его размерностью и обозначается dim V . Размерность
пространства не зависит от выбора базиса.
      Аналогично определяется понятие базиса конечной системы
векторов. Вместо слова “размерность” в этом случае употребляют термин
ранг.


                                     20

Страницы