Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

˜
A
(t)
= A
(t)
+ λA
(s)
A
(t)
=
˜
A
(t)
− λ
˜
A
(s)
. . . . . .
˜
A
(n)
= A
(n)
A
(n)
=
˜
A
(n)
следовательно, по лемме 2.7 имеем
rk
г
(A) = rk{A
(1)
, . . . , A
(n)
} = rk{
˜
A
(1)
, . . . ,
˜
A
(n)
} = rk
г
(
˜
A).
3) К A было применено преобразование F
s
(λ) III-го рода. Как и в
случае 2), системы строк матриц A и
˜
A линейно выражаются друг через
друга:
˜
A
(1)
= A
(1)
A
(1)
=
˜
A
(1)
. . . . . .
˜
A
(s)
= λA
(s)
A
(s)
= λ
−1
˜
A
(s)
. . . . . .
˜
A
(n)
= A
(n)
A
(n)
=
˜
A
(n)
следовательно, снова rk
г
(A) = rk{A
(1)
, . . . , A
(n)
} = rk{
˜
A
(1)
, . . . ,
˜
A
(n)
} =
rk
г
(
˜
A).
2. Для совпадения рангов по столбцам матриц A и
˜
A достаточно,
чтобы равенство нулю произвольной линейной комбинации столбцов
матрицы A выполнялось тогда и только тогда, когда равна нулю точно
такая же линейная комбинация столбцов матрицы
˜
A с теми же номерами,
то есть
X
i
λ
i
A
(i)
= 0 ⇔
X
i
λ
i
˜
A
(i)
= 0. (2.2)
(Докажите, что если верно (2.2), то каждой максимально линейно
независимой системе столбцов матрицы A отвечает максимально линейно
независимая система столбцов матрицы
˜
A с теми же номерами.)
Составим из коэффициентов λ
1
,. . . , λ
n
столбец
¯
λ. Тогда условие (2.2)
примет более простой вид:
A
¯
λ = 0 ⇔
˜
A
¯
λ = 0. (2.3)
Матрица
˜
A получена из A элементарным преобразованием строк,
следовательно,
˜
A = FA для некоторой элементарной матрицы F .
Теперь с учетом леммы 2.3 выполнение условия (2.3) почти очевидно:
если A
¯
λ = 0, то
˜
A
¯
λ = F A
¯
λ = F 0 = 0, и обратно, если
˜
A
¯
λ = 0, то
A
¯
λ = F
−1
F A
¯
λ = F
−1
˜
A
¯
λ = F
−1
0 = 0, что и требовалось.C
22
                       Ã(t) = A(t) + λA(s)            A(t) = Ã(t) − λÃ(s)
                             ...                            ...
                       Ã(n) = A(n)                    A(n) = Ã(n)

следовательно, по лемме 2.7 имеем

         rkг (A) = rk{A(1) , . . . , A(n) } = rk{Ã(1) , . . . , Ã(n) } = rkг (Ã).

     3) К A было применено преобразование Fs (λ) III-го рода. Как и в
случае 2), системы строк матриц A и Ã линейно выражаются друг через
друга:
                    Ã(1) = A(1)     A(1) = Ã(1)
                          ...             ...
                    Ã(s) = λA(s)    A(s) = λ−1 Ã(s)
                          ...             ...
                    Ã(n) = A(n)     A(n) = Ã(n)
следовательно, снова rkг (A) = rk{A(1) , . . . , A(n) } = rk{Ã(1) , . . . , Ã(n) } =
rkг (Ã).
       2. Для совпадения рангов по столбцам матриц A и Ã достаточно,
чтобы равенство нулю произвольной линейной комбинации столбцов
матрицы A выполнялось тогда и только тогда, когда равна нулю точно
такая же линейная комбинация столбцов матрицы Ã с теми же номерами,
то есть              X                X
                        λi A(i) = 0 ⇔        λi Ã(i) = 0.                       (2.2)
                          i                        i
(Докажите, что если верно (2.2), то каждой максимально линейно
независимой системе столбцов матрицы A отвечает максимально линейно
независимая система столбцов матрицы Ã с теми же номерами.)
Составим из коэффициентов λ1 ,. . . , λn столбец λ̄. Тогда условие (2.2)
примет более простой вид:

                                 Aλ̄ = 0 ⇔ Ãλ̄ = 0.                                   (2.3)

Матрица Ã получена из A элементарным преобразованием строк,
следовательно, Ã = F A для некоторой элементарной матрицы F .
Теперь с учетом леммы 2.3 выполнение условия (2.3) почти очевидно:
если Aλ̄ = 0, то Ãλ̄ = F Aλ̄ = F 0 = 0, и обратно, если Ãλ̄ = 0, то
Aλ̄ = F −1 F Aλ̄ = F −1 Ãλ̄ = F −1 0 = 0, что и требовалось.C

                                             22

Страницы