Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2.9 rk
г
(A) = rk
в
(A).
Доказательство. Ввиду леммы 2.1 и предложения 2.8 можно считать,
что матрица A имеет ступенчатый вид (2.1). Более того, с помощью
элементарных преобразований строк II-го и III-го рода можно привести
матрицу к такому виду, чтобы ее столбцы с номерами j
1
,. . . , j
r
,
проходящие через вершины “ступенек”, имели вид (1, 0, . . . , 0)
t
,
(0, 1, . . . , 0)
t
и так далее, то есть, чтобы они совпадали с первыми r
столбцами единичной матрицы. Очевидно, такие столбцы образуют
базис системы столбцов матрицы A, так что rk
в
(A) = r. С другой
стороны, не менее очевидно, что в матрице указанного вида первые
r строк также образуют базис системы всех строк матрицы, поэтому
rk
г
(A) = r. Следовательно, rk
г
(A) = rk
в
(A). C
Итак, ранг по строкам любой матрицы A равен ее рангу по
столбцам, поэтому данную величину естественно называть просто рангом.
Обозначение ранга матрицы: rk A.
Фактически, доказательство теоремы 2.9 дает способ нахождения
ранга матрицы: ранг равен количеству ненулевых строк, остающихся в
матрице после приведения ее к ступенчатому виду.
Ранг является одной из наиболее важных характеристик матрицы.
В частности, зная ранг квадратной матрицы, легко решить вопрос о ее
обратимости.
Теорема 2.10 (критерий обратимости матрицы в терминах
ранга) Матрица A порядка n обратима ⇔ rk A = n.
Доказательство. Если матрица A обратима, то после приведения к
ступенчатому виду в ней не должно быть нулевых строк, так что
rk A = n. Обратно, приведение к ступенчатому виду квадратной
матрицы A ранга n дает верхнетреугольную матрицу с ненулевыми
элементами по главной диагонали, а из такой матрицы с помощью
элементарных преобразований строк можно получить единичную
матрицу. Следовательно, матрица A обратима.C
Теорема 2.11
rk (AB) ≤ min{rk A, rk B}. (2.4)
Доказательство. Рассмотрим строки матрицы C = AB . Непосредственно
23
Теорема 2.9 rkг (A) = rkв (A).
Доказательство. Ввиду леммы 2.1 и предложения 2.8 можно считать,
что матрица A имеет ступенчатый вид (2.1). Более того, с помощью
элементарных преобразований строк II-го и III-го рода можно привести
матрицу к такому виду, чтобы ее столбцы с номерами j1 ,. . . , jr ,
проходящие через вершины “ступенек”, имели вид (1, 0, . . . , 0)t ,
(0, 1, . . . , 0)t и так далее, то есть, чтобы они совпадали с первыми r
столбцами единичной матрицы. Очевидно, такие столбцы образуют
базис системы столбцов матрицы A, так что rkв (A) = r . С другой
стороны, не менее очевидно, что в матрице указанного вида первые
r строк также образуют базис системы всех строк матрицы, поэтому
rkг (A) = r . Следовательно, rkг (A) = rkв (A). C
        Итак, ранг по строкам любой матрицы A равен ее рангу по
столбцам, поэтому данную величину естественно называть просто рангом.
Обозначение ранга матрицы: rk A.
        Фактически, доказательство теоремы 2.9 дает способ нахождения
ранга матрицы: ранг равен количеству ненулевых строк, остающихся в
матрице после приведения ее к ступенчатому виду.
        Ранг является одной из наиболее важных характеристик матрицы.
В частности, зная ранг квадратной матрицы, легко решить вопрос о ее
обратимости.
Теорема 2.10 (критерий обратимости матрицы в терминах
ранга) Матрица A порядка n обратима ⇔ rk A = n.
Доказательство. Если матрица A обратима, то после приведения к
ступенчатому виду в ней не должно быть нулевых строк, так что
rk A = n. Обратно, приведение к ступенчатому виду квадратной
матрицы A ранга n дает верхнетреугольную матрицу с ненулевыми
элементами по главной диагонали, а из такой матрицы с помощью
элементарных преобразований строк можно получить единичную
матрицу. Следовательно, матрица A обратима.C
Теорема 2.11
                      rk (AB) ≤ min{rk A, rk B}.                   (2.4)
Доказательство. Рассмотрим строки матрицы C = AB . Непосредственно


                                   23

Страницы