Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 26 стр.

из правила умножения матриц получаем:
                                     X
                     C(i) = A(i) B =   aij B(j) ,
                                         j

то есть, каждая строка матрицы C является линейной комбинацией строк
матрицы B , следовательно,

                              rk C ≤ rk B.                           (2.5)

Аналогично, для столбцов матрицы C имеем:
                                   X
                       (j)     (j)
                      C = AB =        A(i) bij ,
                                         i

то есть, столбцы матрицы C линейно выражаются чарез столбцы
матрицы A, откуда
                         rk C ≤ rk A.                  (2.6)
Одновременное выполнение неравенств (2.5) и (2.6) дает (2.4).C
Следствие 2.12 Если матрицы B и C обратимы, то rk (BAC) = rk A.
Доказательство. Согласно теореме 2.11 имеем

                      rk (BAC) ≤ rk (BA) ≤ rk A.

С другой стороны, A = B −1 (BAC)C −1 , поэтому

                rk A = rk (B −1 (BAC)C −1 ) ≤ rk (BAC).C

                         §3. Перестановки
     Теперь перейдем к изучению еще одного важного класса
алгебраических объектов — перестановок. Сначала дадим несколько
общих определений.
     Отображение ϕ : A → B называется инъективным (или инъек-
цией), если a 6= b влечет ϕ(a) 6= ϕ(b) для всех a, b ∈ A. Другими словами,
отображение инъективно, если образы различных элементов различны.
     Отображение ϕ : A → B называется сюръективным (или сюръек-
цией), если ϕ(A) = B , то есть, для каждого элемента b ∈ B найдется
элемент a ∈ A такой, что ϕ(a) = b. Инъективное и сюръективное
отображение называют биективным (или биекцией). Тождественное

                                    24