Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 27 стр.

отображение idA : A → A, переводящее каждый элемент из A в себя,
очевидно является биективным.
      Если ϕ : A → B и ψ : B → C — отображения, то соответствие
a 7→ ψ(ϕ(a)) задает отображение ψ◦ϕ : A → C , называемое композицией
отображений ϕ и ψ .
Лемма 3.1 Пусть α : A → B , β : B → C и γ : C → D — отображения.
Тогда (γ ◦ β) ◦ α = γ ◦ (β ◦ α).
Доказательство. Для каждого a ∈ A имеем

((γ ◦ β) ◦ α)(a) = (γ ◦ β)(α(a)) = γ(β(α(a))) =
                                        γ((β ◦ α)(a)) = (γ ◦ (β ◦ α))(a).C

     Отображение ϕ : A → B называется взаимно однозначным, если
существует обратное отображение ϕ−1 : B → A, то есть, отображение,
удовлетворяющее условиям ϕ−1 ◦ ϕ = idA и ϕ ◦ ϕ−1 = idB .
Упражнение 3.1
     1. Приведите примеры отображений, которые инъективны, но не
сюръективны; сюръективны, но не инъективны.
     2. Докажите, что композиция инъективных (сюръективных)
отображений инъективна (сюръективна).
     3. Докажите, что если множество A конечно, то инъективность
отображения α : A → A эквивалентна его сюръективности.

                      3.1 Группа перестановок

      Пусть Ωn — множество, состоящее из n элементов. Перестановкой
на Ωn называется произвольная биекция α : Ωn → Ωn . Обозначим через
Sn множество всех перестановок на Ωn . Композицию α ◦ β перестановок
α, β ∈ Sn будем называть их произведением и обозначать через αβ .
      Для дальнейших рассуждений природа элементов множества Ωn не
имеет никакого значения, поэтому для определенности будем считать, что
Ωn состоит из чисел 1, 2, . . . , n. Тогда каждую перестановку α ∈ Sn
удобно записывать в виде таблицы, содержащей две строки и n столбцов:
                        Ã                        !
                              1      2 ...    n
                    α=                             ,
                           α(1) α(2) . . . α(n)


                                   25