Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2
◦
. Если [i] ∩ [j] 6= ∅, то [i] = [j].
3
◦
. Ω
n
=
S
i∈Ω
n
[i].
Доказательство. 1
◦
. Поскольку k ∈ [i], то k ∼ i. Тогда для любого l ∈ [k]
имеем l ∼ k и k ∼ i, откуда l ∼ i в силу транзитивности, так что [k] ⊆ [i].
Одновременно, с учетом симметричности, для всех j ∈ [i] имеем j ∼ i и
i ∼ k, поэтому j ∼ k, следовательно, [i] ⊆ [k].
2
◦
. Если [i] ∩ [j] 6= ∅, то найдется k ∈ [i] ∩ [j]. Тогда согласно
предыдущему свойству [i] = [k] = [j].
3
◦
. Очевидно, [i] ⊆ Ω
n
при любом i ∈ Ω
n
, поэтому
S
i∈Ω
n
[i] ⊆ Ω
n
.
Обратно, так как i ∈ [i] для всех i ∈ Ω
n
, то Ω
n
=
S
i∈Ω
n
{i} ⊆
S
i∈Ω
n
[i].C
Из свойств 2
◦
и 3
◦
вытекает, что Ω
n
разбивается на непере-
секающиеся друг с другом классы α-эквивалентности [i
1
], . . . , [i
t
].
Лемма 3.3 Если класс [i] состоит из l элементов, то [i] =
{i, α(i), . . . , α
l−1
(i)}, причем α
l
(i) = i.
Доказательство. Каждое из чисел i, α(i), . . . , α
l−1
(i) лежит в [i] согласно
определению α-эквивалентности, поэтому для доказательства равенства
множеств [i] и {i, α(i), . . . , α
l−1
(i)} достаточно установить, что все эти
числа различны.
Пусть α
p
(i) = α
q
(i) при 0 ≤ p < q ≤ l−1. Подействовав на обе части
равенства перестановкой α
−p
, получаем i = α
s
(i), где 0 < s = q − p < l.
Возьмем произвольный элемент j ∈ [i]. По определению для некоторого
k ∈ Z верно j = α
k
(i). Поделив k на s с остатком, получим k = ms + r,
где 0 ≤ r < s < l. Но тогда
j = α
k
(i) = α
ms+r
(i) = α
r
((α
s
)
m
(i)) = α
r
(i),
следовательно, класс [i] содержит не более s элементов, что ввиду
неравенства s < l противоречит условию леммы.
Итак, [i] = {i, α(i), . . . , α
l−1
(i)}. В частности, α
l
(i) ∈ [i], поэтому
α
l
(i) = α
k
(i), где 0 ≤ k < l. Тогда i = α
l−k
(i), но это равенство, как было
показано выше, приводит к противоречию при k > 0. Следовательно,
k = 0 и α
l
(i) = i.C
Для каждого класса [i
s
] (s = 1, . . . , t) рассмотрим перестановку
27
      2◦ . Если [i] ∩ [j] 6= ∅, то [i] = [j].
                 S
      3◦ . Ωn =      [i].
                 i∈Ωn

Доказательство. 1◦ . Поскольку k ∈ [i], то k ∼ i. Тогда для любого l ∈ [k]
имеем l ∼ k и k ∼ i, откуда l ∼ i в силу транзитивности, так что [k] ⊆ [i].
Одновременно, с учетом симметричности, для всех j ∈ [i] имеем j ∼ i и
i ∼ k , поэтому j ∼ k , следовательно, [i] ⊆ [k].
       2◦ . Если [i] ∩ [j] 6= ∅, то найдется k ∈ [i] ∩ [j]. Тогда согласно
предыдущему свойству [i] = [k] = [j].
                                                               S
       3◦ . Очевидно, [i] ⊆ Ωn при любом i ∈ Ωn , поэтому          [i] ⊆ Ωn .
                                                     S        i∈Ω
                                                               S n
Обратно, так как i ∈ [i] для всех i ∈ Ωn , то Ωn =      {i} ⊆     [i].C
                                                         i∈Ωn        i∈Ωn
     Из свойств 2◦ и 3◦ вытекает, что Ωn разбивается на непере-
секающиеся друг с другом классы α-эквивалентности [i1 ], . . . , [it ].
Лемма 3.3 Если класс [i] состоит из l элементов, то [i]                         =
{i, α(i), . . . , αl−1 (i)}, причем αl (i) = i.
Доказательство. Каждое из чисел i, α(i), . . . , αl−1 (i) лежит в [i] согласно
определению α-эквивалентности, поэтому для доказательства равенства
множеств [i] и {i, α(i), . . . , αl−1 (i)} достаточно установить, что все эти
числа различны.
      Пусть αp (i) = αq (i) при 0 ≤ p < q ≤ l−1. Подействовав на обе части
равенства перестановкой α−p , получаем i = αs (i), где 0 < s = q − p < l .
Возьмем произвольный элемент j ∈ [i]. По определению для некоторого
k ∈ Z верно j = αk (i). Поделив k на s с остатком, получим k = ms + r ,
где 0 ≤ r < s < l . Но тогда

                j = αk (i) = αms+r (i) = αr ((αs )m (i)) = αr (i),

следовательно, класс [i] содержит не более s элементов, что ввиду
неравенства s < l противоречит условию леммы.
       Итак, [i] = {i, α(i), . . . , αl−1 (i)}. В частности, αl (i) ∈ [i], поэтому
αl (i) = αk (i), где 0 ≤ k < l . Тогда i = αl−k (i), но это равенство, как было
показано выше, приводит к противоречию при k > 0. Следовательно,
k = 0 и αl (i) = i.C
       Для каждого класса [is ] (s = 1, . . . , t) рассмотрим перестановку


                                         27

Страницы