Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

функция при перестановке соседних аргументов меняет знак. Прос-
тейшим примером кососимметрической функции является функция,
тождественно равная нулю. Следующий пример показывает, что
существуют и нетривиальные кососимметрические функции.
Пример 3.1 Рассмотрим функцию f(x
1
, . . . , x
n
) =
Q
1≤i<j≤n
(x
j
− x
i
), где
x
i
∈ R для всех i. Фиксируем k в интервале от 1 до n − 1 и разобьем
произведение
n(n−1)
2
входящих в f разностей на блоки:
f(x
1
, . . . , x
n
) =
A
z }| {
Y
1≤i<j<k
(x
j
−x
i
)
B
z }| {
k−1
Y
i=1
(x
k
−x
i
)
C
z }| {
k−1
Y
i=1
(x
k+1
−x
i
)(x
k+1
−x
k
)
D
z }| {
Y
1≤i<j≤n,
j>k+1
(x
j
−x
i
) .
Очевидно, что действие транспозиции (k, k + 1) не изменит блоки A
и D, блок B переведет в C и наоборот, а у разности x
k+1
− x
k
поменяет знак. Следовательно, (k, k + 1) ◦ f = −f , так что функция
f — кососимметрическая. Ясно, что f(x
1
, . . . , x
n
) 6= 0, в случае, когда
значения всех ее аргументов различны.
Лемма 3.6 Если функция f — кососимметрическая, то α ◦f = −f для
любой транспозиции α ∈ S
n
.
Доказательство. Пусть α = (i, i + k) — произвольная транспозиция.
Проведем доказательство индукцией по разности переставляемых чисел.
При k = 1 доказываемое утверждение совпадает с определением
кососимметрической функции. Предположим, что утверждение уже
доказано для всех транспозиций с разностью, строго меньшей k. Тогда
(α ◦ f)(. . . , x
i
, x
i+1
, . . . , x
i+k
, . . . ) = f(. . . , x
i+k
, x
i+1
, . . . , x
i
, . . . ) =
−f(. . . , x
i+1
, x
i+k
, . . . , x
i
, . . . ) = f(. . . , x
i+1
, x
i
, . . . , x
i+k
, . . . ) =
−f(. . . , x
i
, x
i+1
, . . . , x
i+k
, . . . ).C
Теорема 3.7 Каждой перестановке α ∈ S
n
соответствует число
ε
α
= ±1, называемое ее четностью, такое, что α ◦ f = ε
α
f для
любой кососимметрической функции f от n переменных. При этом
ε
αβ
= ε
α
ε
β
.
Доказательство. Фиксируем неравную тождественно нулю кососим-
метрическую функцию f от n переменных. (Существование таких
29
функция при перестановке соседних аргументов меняет знак. Прос-
тейшим примером кососимметрической функции является функция,
тождественно равная нулю. Следующий пример показывает, что
существуют и нетривиальные кососимметрические функции.
                                                     Q
Пример 3.1 Рассмотрим функцию f (x1 , . . . , xn ) =   (xj − xi ), где
                                                                                1≤ik+1

Очевидно, что действие транспозиции (k, k + 1) не изменит блоки A
и D , блок B переведет в C и наоборот, а у разности xk+1 − xk
поменяет знак. Следовательно, (k, k + 1) ◦ f = −f , так что функция
f — кососимметрическая. Ясно, что f (x1 , . . . , xn ) 6= 0, в случае, когда
значения всех ее аргументов различны.
Лемма 3.6 Если функция f — кососимметрическая, то α ◦ f = −f для
любой транспозиции α ∈ Sn .
Доказательство. Пусть α = (i, i + k) — произвольная транспозиция.
Проведем доказательство индукцией по разности переставляемых чисел.
     При k = 1 доказываемое утверждение совпадает с определением
кососимметрической функции. Предположим, что утверждение уже
доказано для всех транспозиций с разностью, строго меньшей k . Тогда
    (α ◦ f )(. . . , xi , xi+1 , . . . , xi+k , . . . ) = f (. . . , xi+k , xi+1 , . . . , xi , . . . ) =
      −f (. . . , xi+1 , xi+k , . . . , xi , . . . ) = f (. . . , xi+1 , xi , . . . , xi+k , . . . ) =
                            −f (. . . , xi , xi+1 , . . . , xi+k , . . . ).C
Теорема 3.7 Каждой перестановке α ∈ Sn соответствует число
εα = ±1, называемое ее четностью, такое, что α ◦ f = εα f для
любой кососимметрической функции f от n переменных. При этом
εαβ = εα εβ .
Доказательство. Фиксируем неравную тождественно нулю кососим-
метрическую функцию f от n переменных. (Существование таких

                                                     29

Страницы