Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

функций установлено в примере 3.1.) Разложим перестановку α ∈ S
n
в произведение транспозиций: α = τ
1
. . . τ
k
. Тогда с учетом леммы 3.6
имеем α ◦ f = ε
α
f , где ε
α
= (−1)
k
. Если α = σ
1
. . . σ
m
— еще одно
разложение в произведение транспозиций, то α ◦ f = (−1)
m
f , следо-
вательно, (α ◦ f)(x
1
, . . . , x
n
) = (−1)
m
f(x
1
, . . . , x
n
) для всех x
1
,. . . , x
n
.
Выберем значения a
1
,. . . , a
n
переменных так, чтобы f(a
1
, . . . , a
n
) 6= 0.
Тогда
(−1)
m
f(a
1
, . . . , a
n
) = (α ◦ f)(a
1
, . . . , a
n
) = ε
α
f(a
1
, . . . , a
n
),
откуда, сокращая на f(a
1
, . . . , a
n
), получаем (−1)
m
= ε
α
. Тем самым
доказано, что число ε
α
однозначно определяется самой перестановкой α
и не зависит от способа ее разложения. В частности,
ε
αβ
f = (αβ) ◦f = α ◦ (β ◦ f) = α ◦ (ε
β
f) = ε
α
ε
β
f,
так что ε
αβ
= ε
α
ε
β
.C
Следствие 3.8 Если α = α
1
. . . α
k
— разложение в произведение неза-
висимых циклов, то ε
α
= (−1)
k
P
s=1
(l
s
−1)
, где l
1
,. . . , l
k
— длины циклов.
Доказательство вытекает из предыдущей теоремы и формулы разло-
жения цикла в произведение транспозиций (см. следствие 3.5).C
Приведем еще один способ вычисления четности перестановки α.
Говорят, что числа i и j образуют инверсию относительно α, если i < j ,
но α(i) > α(j).
Теорема 3.9 ε
α
=(−1)
k
, где k — число всех инверсий относительно α.
Доказательство. Применим метод математической индукции по числу k
инверсий.
Если k = 0, то α — тождественная перестановка и утверждение
тривиально верно.
Пусть k ≥ 1 и для перестановок с менее, чем k инверсиями, теорема
уже доказана. Покажем сначала, что среди чисел, образующих инверсии,
есть соседние числа. В самом деле, пусть инверсию образуют числа i
и i + l. Если l = 1, то нужные соседние числа найдены. При l > 1
рассмотрим α(i+1). Если α(i) > α(i+1), то инверсию образуют соседние
числа i и i + 1. Если же α(i) < α (i + 1), то α(i + 1) > α(i) > α(i + l),
30
функций установлено в примере 3.1.) Разложим перестановку α ∈ Sn
в произведение транспозиций: α = τ1 . . . τk . Тогда с учетом леммы 3.6
имеем α ◦ f = εα f , где εα = (−1)k . Если α = σ1 . . . σm — еще одно
разложение в произведение транспозиций, то α ◦ f = (−1)m f , следо-
вательно, (α ◦ f )(x1 , . . . , xn ) = (−1)m f (x1 , . . . , xn ) для всех x1 ,. . . , xn .
Выберем значения a1 ,. . . , an переменных так, чтобы f (a1 , . . . , an ) 6= 0.
Тогда

         (−1)m f (a1 , . . . , an ) = (α ◦ f )(a1 , . . . , an ) = εα f (a1 , . . . , an ),

откуда, сокращая на f (a1 , . . . , an ), получаем (−1)m = εα . Тем самым
доказано, что число εα однозначно определяется самой перестановкой α
и не зависит от способа ее разложения. В частности,

              εαβ f = (αβ) ◦ f = α ◦ (β ◦ f ) = α ◦ (εβ f ) = εα εβ f,

так что εαβ = εα εβ .C
Следствие 3.8 Если α = α1 . . . αk — разложение в произведение неза-
                                           P
                                           k
                                               (ls −1)
висимых циклов, то εα = (−1)s=1                          , где l1 ,. . . , lk — длины циклов.
Доказательство вытекает из предыдущей теоремы и формулы разло-
жения цикла в произведение транспозиций (см. следствие 3.5).C
     Приведем еще один способ вычисления четности перестановки α.
Говорят, что числа i и j образуют инверсию относительно α, если i < j ,
но α(i) > α(j).
Теорема 3.9 εα =(−1)k , где k — число всех инверсий относительно α.
Доказательство. Применим метод математической индукции по числу k
инверсий.
     Если k = 0, то α — тождественная перестановка и утверждение
тривиально верно.
     Пусть k ≥ 1 и для перестановок с менее, чем k инверсиями, теорема
уже доказана. Покажем сначала, что среди чисел, образующих инверсии,
есть соседние числа. В самом деле, пусть инверсию образуют числа i
и i + l . Если l = 1, то нужные соседние числа найдены. При l > 1
рассмотрим α(i+1). Если α(i) > α(i+1), то инверсию образуют соседние
числа i и i + 1. Если же α(i) < α(i + 1), то α(i + 1) > α(i) > α(i + l),

                                                  30

Страницы