Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 4.1 det A
t
= det A.
Доказательство. Пусть A = (a
ij
), A
t
= (a
0
ij
), где a
0
ij
= a
ji
при всех i, j .
Тогда согласно (4.1) имеем
det A
t
=
X
α∈S
n
ε
α
a
0
1α(1)
a
0
2α(2)
. . . a
0
nα(n)
=
X
α∈S
n
ε
α
a
α(1)1
a
α(2)2
. . . a
α(n)n
.
Заметим, что пары индексов элементов, участвующих в произведении
a
α(1)1
a
α(2)2
. . . a
α(n)n
, отвечают перестановке, обратной к α, поэтому
с учетом коммутативности умножения элементов поля получаем
a
α(1)1
a
α(2)2
. . . a
α(n)n
= a
1α
−1
(1)
a
2α
−1
(2)
. . . a
nα
−1
(n)
, откуда
det A
t
=
X
α∈S
n
ε
α
a
1α
−1
(1)
a
2α
−1
(2)
. . . a
nα
−1
(n)
. (4.2)
Воспользуемся теперь тем, что отображение α 7→ α
−1
является биекцией
группы перестановок S
n
в себя (проверьте это в качестве упражнения(!)),
следовательно, если перестановка α пробегает всю группу, то всю группу
пробегает и перестановка α
−1
, поэтому в (4.2) можно заменить индекс
суммирования:
X
α∈S
n
ε
α
a
1α
−1
(1)
a
2α
−1
(2)
. . . a
nα
−1
(n)
=
X
α
−1
∈S
n
ε
α
a
1α
−1
(1)
a
2α
−1
(2)
. . . a
nα
−1
(n)
.
Поскольку αα
−1
= e, то 1 = ε
e
= ε
αα
−1
= ε
α
ε
α
−1
, откуда с учетом ε
α
= ±1
выводим ε
α
= ε
α
−1
. Обозначив α
−1
через β , окончательно получаем
det A
t
=
X
β∈S
n
ε
β
a
1β(1)
a
2β(2)
. . . a
nβ(n)
= det A.C
4.2 Определитель, как полилинейная кососимметрическая
функция строк (столбцов) матрицы
Как уже не раз отмечалось, каждую матрицу A порядка n
можно рассматривать как набор (A
(1)
, . . . , A
(n)
) n-мерных векторов —
строк матрицы, либо как набор (A
(1)
, . . . , A
(n)
) векторов — столбцов.
Поэтому на определитель матрицы можно смотреть как на функцию
от n аргументов. При транспонировании матрицы ее строки становятся
столбцами и наоборот, столбцы — строками, определитель же согласно
теореме 4.1 не меняется. Следовательно, любое свойство, доказанное
для определителя, рассматриваемого как функция строк, автоматически
32
Теорема 4.1 det At = det A.
Доказательство. Пусть A = (aij ), At = (a0ij ), где a0ij = aji при всех i, j .
Тогда согласно (4.1) имеем
             X                                       X
    det At =      εα a01α(1) a02α(2) . . . a0nα(n) =   εα aα(1)1 aα(2)2 . . . aα(n)n .
                 α∈Sn                               α∈Sn

Заметим, что пары индексов элементов, участвующих в произведении
aα(1)1 aα(2)2 . . . aα(n)n , отвечают перестановке, обратной к α, поэтому
с учетом коммутативности умножения элементов поля получаем
aα(1)1 aα(2)2 . . . aα(n)n = a1α−1 (1) a2α−1 (2) . . . anα−1 (n) , откуда
                                 X
                             t
                       det A =          εα a1α−1 (1) a2α−1 (2) . . . anα−1 (n) . (4.2)
                               α∈Sn

Воспользуемся теперь тем, что отображение α 7→ α−1 является биекцией
группы перестановок Sn в себя (проверьте это в качестве упражнения(!)),
следовательно, если перестановка α пробегает всю группу, то всю группу
пробегает и перестановка α−1 , поэтому в (4.2) можно заменить индекс
суммирования:
   X                                            X
       εα a1α−1 (1) a2α−1 (2) . . . anα−1 (n) =   εα a1α−1 (1) a2α−1 (2) . . . anα−1 (n) .
    α∈Sn                                     α−1 ∈Sn

Поскольку αα−1 = e, то 1 = εe = εαα−1 = εα εα−1 , откуда с учетом εα = ±1
выводим εα = εα−1 . Обозначив α−1 через β , окончательно получаем
                      X
            det At =      εβ a1β(1) a2β(2) . . . anβ(n) = det A.C
                            β∈Sn

   4.2 Определитель, как полилинейная кососимметрическая
             функция строк (столбцов) матрицы

     Как уже не раз отмечалось, каждую матрицу A порядка n
можно рассматривать как набор (A(1) , . . . , A(n) ) n-мерных векторов —
строк матрицы, либо как набор (A(1) , . . . , A(n) ) векторов — столбцов.
Поэтому на определитель матрицы можно смотреть как на функцию
от n аргументов. При транспонировании матрицы ее строки становятся
столбцами и наоборот, столбцы — строками, определитель же согласно
теореме 4.1 не меняется. Следовательно, любое свойство, доказанное
для определителя, рассматриваемого как функция строк, автоматически

                                           32

Страницы