Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

будет верным и в том случае, когда определитель рассматривается в
качестве функции столбцов.
Пусть V — векторное пространство над полем K . (Будем считать,
что K — одно из полей Q, R или C.) Функция f : V
n
→ K называется
полилинейной, если для каждого i = 1, . . . , n справедливо равенство
f(a
1
, . . . , λa
0
i
+µa
00
i
, . . . , a
n
) = λf(a
1
, . . . , a
0
i
, . . . , a
n
)+µf(a
1
, . . . , a
00
i
, . . . , a
n
),
то есть, функция f линейна по каждому аргументу.
D1. det(A
(1)
, . . . , A
(n)
) — полилинейная функция.
Доказательство вытекает из цепочки равенств
det(A
(1)
, . . . , λA
0
(i)
+ µA
00
(i)
, . . . , A
(n)
) =
X
α∈S
n
ε
α
a
1α(1)
. . . (λa
0
iα(i)
+ µa
00
iα(i)
) . . . a
nα(n)
=
λ
X
α∈S
n
ε
α
a
1α(1)
. . . a
0
iα(i)
. . . a
nα(n)
+ µ
X
α∈S
n
ε
α
a
1α(1)
. . . a
00
iα(i)
. . . a
nα(n)
=
λ det(A
(1)
, . . . , A
0
(i)
, . . . , A
(n)
) + µ det(A
(1)
, . . . , A
00
(i)
, . . . , A
(n)
).C
D2. det(A
(1)
, . . . , A
(n)
) — кососимметрическая функция.
Доказательство. Обозначим через τ транспозицию (i, i+1). Для любой
перестановки α верно ε
ατ
= ε
α
ε
τ
= −ε
α
. Следовательно,
det(. . . , A
(i+1)
, A
(i)
, . . . ) =
X
α∈S
n
ε
α
a
1, α(1)
. . . a
i, α(i+1)
a
i+1, α(i)
. . . a
n, α(n)
=
−
X
α∈S
n
ε
ατ
a
1,(ατ )(1)
. . . a
i,(ατ )(i)
a
i+1,(ατ )(i+1)
. . . a
n,(ατ )(n)
.
Легко проверяется, что отображение α 7→ ατ является биекцией группы
S
n
в себя, поэтому в последнем выражении можно заменить индекс
суммирования α на β = ατ , так что
det(. . . , A
(i+1)
, A
(i)
, . . . ) = −
X
β∈S
n
ε
β
a
1, β(1)
. . . a
i, β(i)
a
i+1, β(i+1)
. . . a
n, β(n)
=
−det(. . . , A
(i)
, A
(i+1)
, . . . ).C
Замечание. Ввиду леммы 3.6 свойство D2 означает, что если в матрице
поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак.
D3. det E = 1.
33
будет верным и в том случае, когда определитель рассматривается в
качестве функции столбцов.
     Пусть V — векторное пространство над полем K . (Будем считать,
что K — одно из полей Q, R или C.) Функция f : V n → K называется
полилинейной, если для каждого i = 1, . . . , n справедливо равенство

f (a1 , . . . , λa0i +µa00i , . . . , an ) = λf (a1 , . . . , a0i , . . . , an )+µf (a1 , . . . , a00i , . . . , an ),

то есть, функция f линейна по каждому аргументу.
D1. det(A(1) , . . . , A(n) ) — полилинейная функция.
Доказательство вытекает из цепочки равенств
    det(A(1) , . . . , λA0(i) + µA00(i) , . . . , A(n) ) =
                                     X
                                              εα a1α(1) . . . (λa0iα(i) + µa00iα(i) ) . . . anα(n) =
       X                             α∈Sn                X
                              0
     λ     εα a1α(1) . . . aiα(i) . . . anα(n) + µ             εα a1α(1) . . . a00iα(i) . . . anα(n) =
         α∈Sn                                                 α∈Sn
         λ det(A(1) , . . . , A0(i) , . . . , A(n) )   + µ det(A(1) , . . . , A00(i) , . . . , A(n) ).C

D2. det(A(1) , . . . , A(n) ) — кососимметрическая функция.
Доказательство. Обозначим через τ транспозицию (i, i+1). Для любой
перестановки α верно εατ = εα ετ = −εα . Следовательно,
                                        X
  det(. . . , A(i+1) , A(i) , . . . ) =   εα a1, α(1) . . . ai, α(i+1) ai+1, α(i) . . . an, α(n) =
                                             α∈Sn
                     X
                 −          εατ a1,(ατ )(1) . . . ai,(ατ )(i) ai+1,(ατ )(i+1) . . . an,(ατ )(n) .
                     α∈Sn
Легко проверяется, что отображение α 7→ ατ является биекцией группы
Sn в себя, поэтому в последнем выражении можно заменить индекс
суммирования α на β = ατ , так что
                                         X
 det(. . . , A(i+1) , A(i) , . . . ) = −   εβ a1, β(1) . . . ai, β(i) ai+1, β(i+1) . . . an, β(n) =
                                               β∈Sn

                                    − det(. . . , A(i) , A(i+1) , . . . ).C
Замечание. Ввиду леммы 3.6 свойство D2 означает, что если в матрице
поменять местами две строки, то ее определитель поменяет знак.
D3. det E = 1.

                                                         33

Страницы