Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

D(. . . , A
(i)
, . . . , A
(j)
, . . . ) = λ·0 + D(A) = D(A).C
Подчеркнем, что свойства D4–D7 справедливы для всех поли-
линейных кососимметрических функций строк матриц, а значит,
справедливы для определителя как частного случая таких функций.
На самом деле, между определителями и полилинейными кососим-
метрическими функциями существует и обратная связь: каждую
полилинейную кососимметрическую функцию строк матрицы можно
выразить через ее определитель. Предварительно докажем вспомо-
гательную лемму.
Лемма 4.2 Если A = (a
ij
) — верхнетреугольная матрица порядка n,
то D(A) = a
11
a
22
. . . a
nn
D(E).
Доказательство. Последняя строка матрицы A имеет вид A
(n)
=
(0, 0, . . . , a
nn
). Поскольку A
(n)
= a
nn
(0, 0, . . . , 1), то согласно D1
D(A) = a
nn
D
a
11
. . . a
1,n−1
a
1n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . a
n−1,n−1
a
n−1,n
0 . . . 0 1
. (4.3)
Легко видеть, что элементарными преобразованиями II-го рода строк
полученной в (4.3) матрицы ее последний столбец можно привести к виду
(0, . . . , 0, 1)
t
, поэтому в силу D7
D(A) = a
nn
D
a
11
. . . a
1,n−1
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 . . . a
n−1,n−1
0
0 . . . 0 1
.
Повторив аналогичные преобразования матрицы для строк с номерами
n − 1,. . . , 1, получим требуемое равенство.C
Теорема 4.3 Если D — полилинейная кососимметрическая функция
строк матрицы A, то D(A) = D(E) det A.
Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го
рода приведем матрицу A к ступенчатому виду
˜
A. Пусть при этом
было выполнено k преобразований I-го рода. В силу D7 преобразования
II-го рода не меняют значения D(A), а каждое преобразование I-го рода
35
                         D(. . . , A(i) , . . . , A(j) , . . . ) = λ·0 + D(A) = D(A).C
     Подчеркнем, что свойства D4–D7 справедливы для всех поли-
линейных кососимметрических функций строк матриц, а значит,
справедливы для определителя как частного случая таких функций.
На самом деле, между определителями и полилинейными кососим-
метрическими функциями существует и обратная связь: каждую
полилинейную кососимметрическую функцию строк матрицы можно
выразить через ее определитель. Предварительно докажем вспомо-
гательную лемму.
Лемма 4.2 Если A = (aij ) — верхнетреугольная матрица порядка n,
то D(A) = a11 a22 . . . ann D(E).
Доказательство. Последняя строка матрицы A имеет вид A(n) =
(0, 0, . . . , ann ). Поскольку A(n) = ann (0, 0, . . . , 1), то согласно D1
                                                                    
                                     a11 . . . a1,n−1          a1n
                                    .. . . .         ..         .. 
                                    .                 .          . 
                      D(A) = ann D                                  .      (4.3)
                                    0 . . . an−1,n−1 an−1,n 
                                      0 ...          0          1
Легко видеть, что элементарными преобразованиями II-го рода строк
полученной в (4.3) матрицы ее последний столбец можно привести к виду
(0, . . . , 0, 1)t , поэтому в силу D7
                                                          
                                       a11 . . . a1,n−1 0
                                      .. . . .     ..  .. 
                                      .             .   . 
                        D(A) = ann D                      .
                                      0 . . . an−1,n−1 0 
                                        0 ...      0    1
Повторив аналогичные преобразования матрицы для строк с номерами
n − 1,. . . , 1, получим требуемое равенство.C
Теорема 4.3 Если D — полилинейная кососимметрическая функция
строк матрицы A, то D(A) = D(E) det A.
Доказательство. С помощью элементарных преобразований I-го и II-го
рода приведем матрицу A к ступенчатому виду Ã. Пусть при этом
было выполнено k преобразований I-го рода. В силу D7 преобразования
II-го рода не меняют значения D(A), а каждое преобразование I-го рода

                                        35

Страницы