Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

согласно D2 меняет знак, так что
D(A) = (−1)
k
D(
˜
A).
Матрица
˜
A = (˜a
ij
) имеет ступенчатый вид (см. (2.1)), следовательно, она
является верхнетреугольной матрицей. Тогда по лемме 4.2 имеем D(
˜
A) =
˜a
11
. . . ˜a
nn
D(E), откуда
D(A) = D(E)(−1)
k
˜a
11
. . . ˜a
nn
. (4.4)
Заметим, что приведенные выше рассуждения остаются верными, если
функцию D заменить определителем, при этом (4.4) с учетом D3 примет
вид
det A = (−1)
k
˜a
11
. . . ˜a
nn
,
следовательно, D(A) = D(E)(−1)
k
˜a
11
. . . ˜a
nn
= D(E) det A.C
В качестве применения теоремы 4.3 докажем две следующих
теоремы об определителях.
Теорема 4.4 Пусть A =
Ã
B D
0 C
!
— блочно-верхнетреугольная мат-
рица, причем блоки B и C — квадратные. Тогда
det A = det B det C.
Доказательство. Фиксируем блоки B , D и рассмотрим функцию D(C) =
¯
¯
¯
¯
¯
B D
0 C
¯
¯
¯
¯
¯
. Обозначим через k и l порядки блоков B и C соответственно.
Очевидно, если C
(i)
= λC
0
(i)
+µC
00
(i)
, то A
(k+i)
= λA
0
(k+i)
+µA
00
(k+i)
, поэтому
D(C
(1)
, . . . , λC
0
(i)
+ µC
00
(i)
, . . . , C
(l)
) =
det(A
(1)
, . . . , λA
0
(k+i)
+ µA
00
(k+i)
, . . . , A
(k+l)
) =
λ det(A
(1)
, . . . , A
0
(k+i)
, . . . , A
(k+l)
) + µ det(A
(1)
, . . . , A
00
(k+i)
, . . . , A
(k+l)
) =
λD(C
(1)
, . . . , C
0
(i)
, . . . , C
(l)
) + µD(C
(1)
, . . . , C
00
(i)
, . . . , C
(l)
),
следовательно, функция D — полилинейная. Аналогично,
D(. . . , C
(i+1)
, C
(i)
, . . . ) = det(. . . , A
(k+i+1)
, A
(k+i)
, . . . ) =
−det(. . . , A
(k+i)
, A
(k+i+1)
, . . . ) = −D(. . . , C
(i)
, C
(i+1)
, . . . ),
так что D — кососимметрическая. Тогда по теореме 4.3
D(C) = D(E) det C.
36
согласно D2 меняет знак, так что

                                     D(A) = (−1)k D(Ã).

Матрица Ã = (ãij ) имеет ступенчатый вид (см. (2.1)), следовательно, она
является верхнетреугольной матрицей. Тогда по лемме 4.2 имеем D(Ã) =
ã11 . . . ãnn D(E), откуда

                              D(A) = D(E)(−1)k ã11 . . . ãnn .                                  (4.4)

Заметим, что приведенные выше рассуждения остаются верными, если
функцию D заменить определителем, при этом (4.4) с учетом D3 примет
вид
                      det A = (−1)k ã11 . . . ãnn ,
следовательно, D(A) = D(E)(−1)k ã11 . . . ãnn = D(E) det A.C
     В качестве применения теоремы 4.3 докажем две следующих
теоремы об определителях.
                        Ã       !
                          B D
Теорема 4.4 Пусть A =               — блочно-верхнетреугольная мат-
                          0 C
рица, причем блоки B и C — квадратные. Тогда

                                     det A = det B det C.

¯Доказательство.
        ¯         Фиксируем блоки B , D и рассмотрим функцию D(C) =
¯B D¯
¯       ¯
¯       ¯ . Обозначим через k и l порядки блоков B и C соответственно.
¯ 0 C ¯
                          0      00
Очевидно, если C(i) = λC(i) + µC(i) , то A(k+i) = λA0(k+i) + µA00(k+i) , поэтому
                       0            00
  D(C(1) , . . . , λC(i)  + µC(i)       , . . . , C(l) ) =
                                          det(A(1) , . . . , λA0(k+i) + µA00(k+i) , . . . , A(k+l) ) =
  λ det(A(1) , . . . , A0(k+i) , . . . , A(k+l) ) + µ det(A(1) , . . . , A00(k+i) , . . . , A(k+l) ) =
                                  0                                          00
          λD(C(1) , . . . , C(i)       , . . . , C(l) ) + µD(C(1) , . . . , C(i) , . . . , C(l) ),
следовательно, функция D — полилинейная. Аналогично,

            D(. . . , C(i+1) , C(i) , . . . ) = det(. . . , A(k+i+1) , A(k+i) , . . . ) =

          − det(. . . , A(k+i) , A(k+i+1) , . . . ) = −D(. . . , C(i) , C(i+1) , . . . ),
так что D — кососимметрическая. Тогда по теореме 4.3

                                     D(C) = D(E) det C.

                                                  36

Страницы