Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Осталось показать, что D(E) = det B . Положим
˜
A =
Ã
B D
0 E
!
. Имеем
D(E) = det
˜
A =
X
α∈S
k+l
ε
α
˜a
1,α(1)
. . . ˜a
k+l,α(k+l)
. (4.5)
Заметим, что ˜a
ij
= δ
ij
при i > k, поэтому можно считать, что сум-
мирование в (4.5) ведется только по тем перестановкам α, для которых
α(k+1) = k+1,. . . , α (k+l) = k+l, то есть, фактически, по перестановкам
β чисел 1, 2,. . . , k . Полагая β(i) = α(i) при i ≤ k , с учетом ˜a
ij
= b
ij
(i, j ≤ k ) получаем
X
α∈S
k+l
ε
α
˜a
1,α(1)
. . . ˜a
k+l,α(k+l)
=
X
β∈S
k
ε
β
˜a
1,β(1)
. . . ˜a
k,β(k)
δ
k+1,k+1
. . . δ
k+l,k+l
=
X
β∈S
k
ε
β
b
1,β(1)
. . . b
k,β(k)
= det B.
Подставив полученное выражение в (4.5), выводим требуемое равенство
D(E) = det B .C
Теорема 4.5 Пусть A, B — квадратные матрицы одного порядка. Тогда
det(AB) = det A det B.
Доказательство. Фиксируем матрицу B и рассмотрим функцию D(A) =
det(AB). Легко видеть, что (AB)
(i)
= A
(i)
B для всех i. Тогда
D(A
(1)
, . . . , λA
0
(i)
+ µA
00
(i)
, . . . , A
(n)
) =
det(A
(1)
B, . . . , λA
0
(i)
B + µA
00
(i)
B, . . . , A
(n)
B) =
λ det(A
(1)
B, . . . , A
0
(i)
B, . . . , A
(n)
B) + µ det(A
(1)
B, . . . , A
00
(i)
B, . . . , A
(n)
B) =
λD(A
(1)
, . . . , A
0
(i)
, . . . , A
(n)
) + µD(A
(1)
, . . . , A
00
(i)
, . . . , A
(n)
),
так что функция D — полилинейная. Аналогично,
D(. . . , A
(i+1)
, A
(i)
, . . . ) = det(. . . , A
(i+1)
B, A
(i)
B, . . . ) =
−det(. . . , A
(i)
B, A
(i+1)
B, . . . ) = −D(. . . , A
(i)
, A
(i+1)
, . . . ),
значит, D — кососимметрическая. Ввиду теоремы 4.3
det(AB) = D(A) = D(E) det A = det(EB) det A = det A det B.C
37
                                                                               Ã         !
                                                                                   B D
Осталось показать, что D(E) = det B . Положим Ã =                                           . Имеем
                                                                                   0 E
                                             X
                    D(E) = det à =                  εα ã1,α(1) . . . ãk+l,α(k+l) .          (4.5)
                                            α∈Sk+l

Заметим, что ãij = δij при i > k , поэтому можно считать, что сум-
мирование в (4.5) ведется только по тем перестановкам α, для которых
α(k+1) = k+1,. . . , α(k+l) = k+l , то есть, фактически, по перестановкам
β чисел 1, 2,. . . , k . Полагая β(i) = α(i) при i ≤ k , с учетом ãij = bij
(i, j ≤ k ) получаем
    X                                    X
        εα ã1,α(1) . . . ãk+l,α(k+l) =   εβ ã1,β(1) . . . ãk,β(k) δk+1,k+1 . . . δk+l,k+l =
  α∈Sk+l                                   β∈Sk
                              X
                                     εβ b1,β(1) . . . bk,β(k) = det B.
                              β∈Sk

Подставив полученное выражение в (4.5), выводим требуемое равенство
D(E) = det B .C
Теорема 4.5 Пусть A, B — квадратные матрицы одного порядка. Тогда

                                  det(AB) = det A det B.

Доказательство. Фиксируем матрицу B и рассмотрим функцию D(A) =
det(AB). Легко видеть, что (AB)(i) = A(i) B для всех i. Тогда

  D(A(1) , . . . , λA0(i) + µA00(i) , . . . , A(n) ) =
                                        det(A(1) B, . . . , λA0(i) B + µA00(i) B, . . . , A(n) B) =
 λ det(A(1) B, . . . , A0(i) B, . . . , A(n) B) + µ det(A(1) B, . . . , A00(i) B, . . . , A(n) B) =
         λD(A(1) , . . . , A0(i) , . . . , A(n) ) + µD(A(1) , . . . , A00(i) , . . . , A(n) ),

так что функция D — полилинейная. Аналогично,

             D(. . . , A(i+1) , A(i) , . . . ) = det(. . . , A(i+1) B, A(i) B, . . . ) =

           − det(. . . , A(i) B, A(i+1) B, . . . ) = −D(. . . , A(i) , A(i+1) , . . . ),
значит, D — кососимметрическая. Ввиду теоремы 4.3

      det(AB) = D(A) = D(E) det A = det(EB) det A = det A det B.C


                                                  37

Страницы