Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теперь аналогичным образом переместим k-ю строку на место первой
строки:
(−1)
i−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
a
ki
a
k1
. . . a
kn
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= (−1)
i−1+k−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
(−1)
k+i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Заметим, что матрица, стоящая под знаком определителя в правой
части последней цепочки равенств, имеет блочно-верхнетреугольный вид
Ã
B D
0 C
!
, где B = (a
ki
) — матрица порядка 1, а блок C получается
вычеркиванием из матрицы A k-й строки и i-го столбца. Следовательно,
согласно теореме 4.4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= det B det C = a
ki
M
ki
,
так что окончательно получаем
det A =
n
X
k=1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
. . . 0 . . . a
1n
. . . . . .
a
k1
. . . a
ki
. . . a
kn
. . . . . .
a
n1
. . . 0 . . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
n
X
k=1
(−1)
k+i
a
ki
M
ki
=
n
X
k=1
a
ki
A
ki
,
то есть, верно (4.7).
Легко видеть, что если в матрице A вычеркнуть i-ю строку и j -й
столбец, а в матрице A
t
— j -ю строку и i-й столбец, то получившиеся
матрицы порядка n − 1 являются транспонированными друг к другу,
следовательно, их определители равны. Таким образом, минор M
ij
39
Теперь аналогичным     образом переместим k -ю строку на место первой
строки:
            ¯                       ¯
            ¯ 0 a       . . . a1n   ¯                ¯                            ¯
            ¯    11                 ¯                ¯ aki                        ¯
            ¯                       ¯                ¯          ak1   . . . akn   ¯
            ¯   ...     ...         ¯                ¯                            ¯
            ¯                       ¯
        i−1 ¯
    (−1) ¯ aki ak1      . . . akn   ¯ = (−1)i−1+k−1 ¯¯ 0        a11   . . . a1n   ¯
                                                                                  ¯=
                                    ¯                ¯          ...   ...         ¯
            ¯   ...     ...         ¯                ¯                            ¯
            ¯                       ¯                ¯ 0                          ¯
            ¯                       ¯                           an1   . . . ann
            ¯ 0 an1     . . . ann   ¯
                               ¯                           ¯
                               ¯ aki     ak1   . . . akn   ¯
                               ¯                           ¯
                               ¯                           ¯
                           k+i ¯ 0       a11   . . . a1n   ¯
                       (−1) ¯                              ¯.
                               ¯         ...   ...         ¯
                               ¯                           ¯
                               ¯ 0       an1   . . . ann   ¯
Заметим, что матрица, стоящая под знаком определителя в правой
части
à     последней
        !        цепочки равенств, имеет блочно-верхнетреугольный вид
   B D
          , где B = (aki ) — матрица порядка 1, а блок C получается
   0 C
вычеркиванием из матрицы A k -й строки и i-го столбца. Следовательно,
согласно теореме 4.4
              ¯                   ¯
              ¯ aki ak1 . . . akn ¯
              ¯                   ¯
              ¯ 0 a ... a ¯
              ¯      11        1n ¯
              ¯                   ¯ = det B det C = aki Mki ,
              ¯     ... ...       ¯
              ¯                   ¯
              ¯ 0 an1 . . . ann ¯

так что окончательно получаем
              ¯                           ¯
              ¯ a ... 0 ... a             ¯
              ¯ 11                   1n   ¯
              ¯                           ¯
          Xn ¯      ...       ...         ¯  n                  n
              ¯                           ¯ X                  X
  det A =     ¯ ak1 . . . aki . . . akn   ¯=        k+i
                                                (−1) aki Mki =     aki Aki ,
              ¯                           ¯
          k=1 ¯     ...       ...         ¯ k=1                k=1
              ¯                           ¯
              ¯                           ¯
              ¯ an1 . . . 0 . . . ann     ¯

то есть, верно (4.7).
      Легко видеть, что если в матрице A вычеркнуть i-ю строку и j -й
столбец, а в матрице At — j -ю строку и i-й столбец, то получившиеся
матрицы порядка n − 1 являются транспонированными друг к другу,
следовательно, их определители равны. Таким образом, минор Mij

                                         39

Страницы