ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Теперь аналогичным образом переместим k-ю строку на место первой
строки:
(−1)
i−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
a
ki
a
k1
. . . a
kn
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= (−1)
i−1+k−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
(−1)
k+i
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Заметим, что матрица, стоящая под знаком определителя в правой
части последней цепочки равенств, имеет блочно-верхнетреугольный вид
Ã
B D
0 C
!
, где B = (a
ki
) — матрица порядка 1, а блок C получается
вычеркиванием из матрицы A k-й строки и i-го столбца. Следовательно,
согласно теореме 4.4
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
ki
a
k1
. . . a
kn
0 a
11
. . . a
1n
. . . . . .
0 a
n1
. . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= det B det C = a
ki
M
ki
,
так что окончательно получаем
det A =
n
X
k=1
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
. . . 0 . . . a
1n
. . . . . .
a
k1
. . . a
ki
. . . a
kn
. . . . . .
a
n1
. . . 0 . . . a
nn
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
n
X
k=1
(−1)
k+i
a
ki
M
ki
=
n
X
k=1
a
ki
A
ki
,
то есть, верно (4.7).
Легко видеть, что если в матрице A вычеркнуть i-ю строку и j -й
столбец, а в матрице A
t
— j -ю строку и i-й столбец, то получившиеся
матрицы порядка n − 1 являются транспонированными друг к другу,
следовательно, их определители равны. Таким образом, минор M
ij
39
Теперь аналогичным образом переместим k -ю строку на место первой строки: ¯ ¯ ¯ 0 a . . . a1n ¯ ¯ ¯ ¯ 11 ¯ ¯ aki ¯ ¯ ¯ ¯ ak1 . . . akn ¯ ¯ ... ... ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ i−1 ¯ (−1) ¯ aki ak1 . . . akn ¯ = (−1)i−1+k−1 ¯¯ 0 a11 . . . a1n ¯ ¯= ¯ ¯ ... ... ¯ ¯ ... ... ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 ¯ ¯ ¯ an1 . . . ann ¯ 0 an1 . . . ann ¯ ¯ ¯ ¯ aki ak1 . . . akn ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ k+i ¯ 0 a11 . . . a1n ¯ (−1) ¯ ¯. ¯ ... ... ¯ ¯ ¯ ¯ 0 an1 . . . ann ¯ Заметим, что матрица, стоящая под знаком определителя в правой части à последней ! цепочки равенств, имеет блочно-верхнетреугольный вид B D , где B = (aki ) — матрица порядка 1, а блок C получается 0 C вычеркиванием из матрицы A k -й строки и i-го столбца. Следовательно, согласно теореме 4.4 ¯ ¯ ¯ aki ak1 . . . akn ¯ ¯ ¯ ¯ 0 a ... a ¯ ¯ 11 1n ¯ ¯ ¯ = det B det C = aki Mki , ¯ ... ... ¯ ¯ ¯ ¯ 0 an1 . . . ann ¯ так что окончательно получаем ¯ ¯ ¯ a ... 0 ... a ¯ ¯ 11 1n ¯ ¯ ¯ Xn ¯ ... ... ¯ n n ¯ ¯ X X det A = ¯ ak1 . . . aki . . . akn ¯= k+i (−1) aki Mki = aki Aki , ¯ ¯ k=1 ¯ ... ... ¯ k=1 k=1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ an1 . . . 0 . . . ann ¯ то есть, верно (4.7). Легко видеть, что если в матрице A вычеркнуть i-ю строку и j -й столбец, а в матрице At — j -ю строку и i-й столбец, то получившиеся матрицы порядка n − 1 являются транспонированными друг к другу, следовательно, их определители равны. Таким образом, минор Mij 39
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »