Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Если матрица A обратима, то AB = E для некоторой
матрицы B. Тогда в силу теоремы 4.5
1 = det E = det(AB) = det A det B,
следовательно, det A 6= 0.
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть det A 6= 0. Положим
B =
1
det A
A
∨
. Тогда с учетом леммы 4.7
AB = A
³
1
det A
A
∨
´
=
1
det A
(AA
∨
) = E,
то есть, A обратима справа. Поскольку для квадратной матрицы одно-
и двусторонняя обратимость эквивалентны (см. теорему 2.6), получаем,
что A обратима и A
−1
= B =
1
det A
A
∨
.C
Из теорем 4.8 и 2.10 вытекает
Следствие 4.9 Пусть A — матрица порядка n. Тогда det A 6= 0 ⇔
rk A = n.C
2. Формулы Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в матричном
виде Ax = b. Как известно (см. п. 2.3 “Обратимые матрицы”), един-
ственное решение данной системы в случае обратимости матрицы A
находится по формуле x = A
−1
b. Воспользовавшись формулой (4.8) для
обратной матрицы, выводим
x =
1
det A
A
∨
b. (4.9)
Обозначим через M определитель матрицы A, а через M
i
(i = 1, . . . , n) —
определители матриц, которые получаются, если в матрице A заменить
i-й столбец столбцом b. В частности, производя разложение определителя
M
i
по i-му столбцу, имеем
M
i
=
X
k
b
k
A
ki
.
Переходя в (4.9) к поэлементной записи, получаем
x
i
=
1
M
X
k
b
k
A
ki
=
M
i
M
, i = 1, . . . , n. (4.10)
41
Доказательство. Если матрица A обратима, то AB = E для некоторой
матрицы B . Тогда в силу теоремы 4.5

                  1 = det E = det(AB) = det A det B,

следовательно, det A 6= 0.
     Теперь докажем обратное утверждение. Пусть det A 6= 0. Положим
       1
B=         A∨ . Тогда с учетом леммы 4.7
     det A
                          ³ 1       ´    1
                                  ∨
                  AB = A         A =         (AA∨ ) = E,
                           det A       det A
то есть, A обратима справа. Поскольку для квадратной матрицы одно-
и двусторонняя обратимость эквивалентны (см. теорему 2.6), получаем,
                                1
что A обратима и A−1 = B =          A∨ .C
                              det A
      Из теорем 4.8 и 2.10 вытекает
Следствие 4.9 Пусть A — матрица порядка n. Тогда det A 6= 0 ⇔
rk A = n.C
     2. Формулы Крамера.
     Рассмотрим систему линейных уравнений, записанную в матричном
виде Ax = b. Как известно (см. п. 2.3 “Обратимые матрицы”), един-
ственное решение данной системы в случае обратимости матрицы A
находится по формуле x = A−1 b. Воспользовавшись формулой (4.8) для
обратной матрицы, выводим
                                      1
                               x=         A∨ b.                     (4.9)
                                    det A
Обозначим через M определитель матрицы A, а через Mi (i = 1, . . . , n) —
определители матриц, которые получаются, если в матрице A заменить
i-й столбец столбцом b. В частности, производя разложение определителя
Mi по i-му столбцу, имеем
                                  X
                             Mi =     bk Aki .
                                     k

Переходя в (4.9) к поэлементной записи, получаем
                         1X         Mi
                  xi =      bk Aki = ,        i = 1, . . . , n.    (4.10)
                         M          M
                           k


                                     41

Страницы