Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 44 стр.

Равенства (4.10) называются формулами Крамера.
       3. Метод окаймляющих миноров.
       Пусть A = (aij ) — m × n-матрица. Фиксируем индексы 1 ≤ i1 ≤
i2 ≤ · · · ≤ ik ≤ m и 1 ≤ j1 ≤ j2 ≤ · · · ≤ jk ≤ n. Определитель
                              ¯                     ¯
                              ¯ ai j . . . ai j ¯
                              ¯ 11             1 k ¯
                              ¯ ..      . .    .
                                               .    ¯
                              ¯ .           .  . ¯
                              ¯                     ¯
                              ¯ aik j1 . . . aik jk ¯

называется минором порядка k матрицы A. Минор M̃ порядка k + 1
называется окаймляющим для минора M , если M получается из M̃
вычеркиванием одной крайней (первой или последней) строки и одного
крайнего столбца.
      Алгоритм нахождения ранга матрицы.
      Шаг 1. Ищем в матрице A ненулевой элемент aij . Если такого нет,
то rk A = 0, в противном случае найден отличный от нуля минор M = aij
порядка 1.
      Шаг 2. Пусть уже найден минор M 6= 0 порядка k . Ищем отличный
от нуля минор M̃ порядка k + 1 среди миноров, окаймляющих M .
Если такой минор есть, то повторяем шаг 2 для минора M̃ , а если все
окаймляющие миноры равны нулю, то rk A = k .
Обоснование алгоритма. Ясно, что алгоритм может остановиться на
шаге 1 только в том случае, когда матрица A — нулевая и, следовательно,
ее ранг равен 0.
      Пусть теперь A 6= 0. Покажем сначала, что алгоритм не может
работать бесконечно долго. В самом деле, в таком случае из строк и
столбцов матрицы A можно было бы составлять ненулевые миноры сколь
угодно большого порядка. Но матрица A имеет m строк, поэтому любой
ее минор порядка m+1 содержит по крайней мере две одинаковых строки
и, следовательно, равен нулю. (Аналогично показывается, что порядок
отличного от нуля минора матрицы не может быть больше количества ее
столбцов, поэтому, если k — порядок ненулевого минора матрицы A, то
k ≤ min(m, n).)
      Итак, через конечное число шагов алгоритм завершит работу и
будет найден минор M 6= 0 порядка r , все окаймляющие миноры
которого равны 0. Докажем, что rk A = r . Для простоты обозначений
будем считать, что минор M образован элементами первых r строк

                                  42