Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

A
(1)
, . . . , A
(r)
линейно независимы, следовательно, строка A
(i)
является
их линейной комбинацией. Воспользовавшись произвольностью номера
i, приходим к выводу, что все строки матрицы A линейно выражаются
через первые ее r линейно независимых строк, откуда rk A = r.C
Следствие 4.10 Ранг матрицы равен наибольшему из порядков ее
ненулевых миноров.
Доказательство. Пусть rk A = r и k — наибольший из порядков
ненулевых миноров матрицы A. Если минор M 6= 0 порядка k составлен
из элементов строк A
(i
1
)
,. . . , A
(i
k
)
, то эти строки линейно независимы,
откуда r ≥ k. С другой стороны, применение метода окаймляющих
миноров дает ненулевой минор порядка r, следовательно, k ≥ r.C
§5. Системы линейных уравнений
Рассмотрим систему линейных уравнений
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ ··· + a
2n
x
n
= b
2
. . . . . . . . .
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ ··· + a
mn
x
n
= b
m
. (5.1)
Легко видеть, что систему (5.1) можно записать в векторном виде
a
11
a
21
.
.
.
a
m1
x
1
+
a
12
a
22
.
.
.
a
m2
x
2
+ ··· +
a
1n
a
2n
.
.
.
a
mn
x
n
=
b
1
b
2
.
.
.
b
m
, (5.2)
а также в матричном
a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
m1
a
m2
. . . a
mn
x
1
x
2
.
.
.
x
n
=
b
1
b
2
.
.
.
b
m
(5.3)
или сокращенно Ax = b, где A = (a
ij
) — матрица системы, x — столбец
неизвестных, b — столбец свободных членов. Приписав справа к матрице
A столбец b, получаем расширенную матрицу
¯
A = (A|b) системы.
44
A(1) , . . . , A(r) линейно независимы, следовательно, строка A(i) является
их линейной комбинацией. Воспользовавшись произвольностью номера
i, приходим к выводу, что все строки матрицы A линейно выражаются
через первые ее r линейно независимых строк, откуда rk A = r .C
Следствие 4.10 Ранг матрицы равен наибольшему из порядков ее
ненулевых миноров.
Доказательство. Пусть rk A = r и k — наибольший из порядков
ненулевых миноров матрицы A. Если минор M 6= 0 порядка k составлен
из элементов строк A(i1 ) ,. . . , A(ik ) , то эти строки линейно независимы,
откуда r ≥ k . С другой стороны, применение метода окаймляющих
миноров дает ненулевой минор порядка r , следовательно, k ≥ r .C

              §5. Системы линейных уравнений
     Рассмотрим систему линейных уравнений
              
              
                a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn   = b1
              
               a x + a x + ··· + a x
                  21 1       22 2              2n n = b2
                                                         .              (5.1)
              
                      . . .     . . .    . . .
              
              
                 am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

Легко видеть, что систему (5.1) можно записать в векторном виде
                                                   
        a11           a12                a1n           b1
     a            a                a           b 
     21           22               2n          2 
     ..  x1 +  ..  x2 + · · · +  ..  xn =  ..  ,        (5.2)
     .            .                .           . 
       am1            am2               amn            bm
а также в матричном
                                                             
                a11 a12      . . . a1n        x1            b1
               a                                             
               21 a22       . . . a2n      x2          b2    
               ..   ..       ...   ..       ..   =      ..        (5.3)
               .     .              .        .           .   
                am1 am2      . . . amn        xn            bm

или сокращенно Ax = b, где A = (aij ) — матрица системы, x — столбец
неизвестных, b — столбец свободных членов. Приписав справа к матрице
A столбец b, получаем расширенную матрицу Ā = (A|b) системы.

                                     44

Страницы