Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5.1 Классификация систем. Критерий совместности
Системы линейных уравнений классифицируются по нескольким
признакам. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется
совместной, если же решений нет — несовместной. Если совместная
система имеет ровно одно решение, то это определенная система, в
противном случае — неопределенная. Критерий совместности системы
дает
Теорема Кронекера–Капелли. Система Ax = b совместна тогда
и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы
совпадают, то есть, rk A = rk
¯
A.
Доказательство. (⇒) : Пусть система Ax = b совместна, то есть,
существует решение x
0
. Записав равенство Ax
0
= b в векторном виде
(5.2), получаем, что столбец b является линейной комбинацией столбцов
A
(1)
, . . . , A
(n)
матрицы A, следовательно, rk A = rk{A
(1)
, . . . , A
(n)
} =
rk{A
(1)
, . . . , A
(n)
, b} = rk
¯
A.
(⇐): Фиксируем базис {A
(i
1
)
, . . . , A
(i
r
)
} системы столбцов матрицы
A. Он одновременно является и базисом системы столбцов расширенной
матрицы, поскольку rk A = rk
¯
A. Следовательно, столбец b линейно
выражается через столбцы A
(i
1
)
, . . . , A
(i
r
)
и тем более выражается через
все столбцы матрицы A. С учетом (5.2) это означает совместность
системы.C
Докажем полезную лемму, которая не раз понадобится в
дальнейшем.
Лемма 5.1 Элементарные преобразования строк расширенной матрицы
¯
A не меняют множества решений системы Ax = b.
Доказательство. Как известно (см. леммы 2.2 и 2.3), элементарные
преобразования строк матрицы
¯
A равносильны ее домножению слева
на некоторую обратимую матрицу F , поэтому после элементарных
преобразований система Ax = b примет вид F Ax = F b. Ясно,
что если x
0
— некоторое решение системы Ax = b, то Ax
0
= b,
откуда F Ax
0
= F b, то есть, x
0
— решение преобразованной системы.
Обратно, если F Ax
0
= F b, то ввиду обратимости матрицы F получаем
Ax
0
= F
−1
F Ax
0
= F
−1
F b = b, то есть, x
0
— решение исходной системы
45
       5.1 Классификация систем. Критерий совместности

     Системы линейных уравнений классифицируются по нескольким
признакам. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется
совместной, если же решений нет — несовместной. Если совместная
система имеет ровно одно решение, то это определенная система, в
противном случае — неопределенная. Критерий совместности системы
дает
Теорема Кронекера–Капелли. Система Ax = b совместна тогда
и только тогда, когда ранги основной и расширенной матриц системы
совпадают, то есть, rk A = rk Ā.
Доказательство. (⇒) : Пусть система Ax = b совместна, то есть,
существует решение x0 . Записав равенство Ax0 = b в векторном виде
(5.2), получаем, что столбец b является линейной комбинацией столбцов
A(1) , . . . , A(n) матрицы A, следовательно, rk A = rk{A(1) , . . . , A(n) } =
rk{A(1) , . . . , A(n) , b} = rk Ā.
         (⇐): Фиксируем базис {A(i1 ) , . . . , A(ir ) } системы столбцов матрицы
A. Он одновременно является и базисом системы столбцов расширенной
матрицы, поскольку rk A = rk Ā. Следовательно, столбец b линейно
выражается через столбцы A(i1 ) , . . . , A(ir ) и тем более выражается через
все столбцы матрицы A. С учетом (5.2) это означает совместность
системы.C
        Докажем полезную лемму, которая не раз понадобится в
дальнейшем.
Лемма 5.1 Элементарные преобразования строк расширенной матрицы
Ā не меняют множества решений системы Ax = b.
Доказательство. Как известно (см. леммы 2.2 и 2.3), элементарные
преобразования строк матрицы Ā равносильны ее домножению слева
на некоторую обратимую матрицу F , поэтому после элементарных
преобразований система Ax = b примет вид F Ax = F b. Ясно,
что если x0 — некоторое решение системы Ax = b, то Ax0 = b,
откуда F Ax0 = F b, то есть, x0 — решение преобразованной системы.
Обратно, если F Ax0 = F b, то ввиду обратимости матрицы F получаем
Ax0 = F −1 F Ax0 = F −1 F b = b, то есть, x0 — решение исходной системы

                                       45

Страницы