Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

и первых r столбцов матрицы A. (Такого расположения минора M
всегда можно добиться подходящими перестановками строк и столбцов
матрицы, при этом ее ранг не меняется.) Разобьем матрицу A на блоки:
A =
Ã
B C
D F
!
, где блок B — матрица порядка r (размеры остальных
блоков легко вычисляются, исходя из размеров B и A, в частности,
если r = m, то A = (B|C)). Ясно, что det B = M 6= 0, откуда
ввиду следствия 4.9 выводим rk B = r. Тогда и rk(B|C) = r, так как
r = rk B ≤ rk(B|C) = rk{A
(1)
, . . . , A
(r)
} ≤ r. Если r = m, то требуемое
равенство rk A = r получено.
Пусть теперь r < m. Фиксируем номера i, j строки и столбца
матрицы A и рассмотрим окаймляющий M минор
˜
M =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
a
11
. . . a
1r
a
1j
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a
r1
. . . a
rr
a
rj
a
i1
. . . a
ir
a
ij
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Согласно предположению
˜
M = 0, значит, его столбцы
˜
M
1
, . . . ,
˜
M
r
,
˜
M
r+1
линейно зависимы (предположение о том, что rk{
˜
M
1
, . . . ,
˜
M
r
,
˜
M
r+1
} =
r + 1 ввиду следствия 4.9 означало бы, что
˜
M 6= 0). В то же
время первые r столбцов минора
˜
M линейно независимы, так как
r ≥ rk{
˜
M
1
, . . . ,
˜
M
r
} ≥ rk B = r. Из курса линейной алгебры известно,
что если добавление вектора к линейно независимой системе превращает
ее в линейно зависимую, то добавленный вектор есть линейная
комбинация исходных, так что столбец
˜
M
r+1
= (a
1j
, . . . , a
rj
, a
ij
)
t
линейно
выражается через первые r столбцов минора
˜
M . В силу произвольности
номера j заключаем, что через линейно независимые столбцы
˜
M
1
= (a
11
, . . . , a
r1
, a
i1
)
t
,. . . ,
˜
M
r
= (a
1r
, . . . , a
rr
, a
ir
)
t
линейно выражаются
все столбцы матрицы
˜
A =
a
11
. . . a
1r
. . . a
1n
. . . . . .
a
r1
. . . a
rr
. . . a
rn
a
i1
. . . a
ir
. . . a
in
, следовательно,
ее ранг равен r. Но
˜
A составлена из строк A
(1)
, . . . , A
(r)
, A
(i)
матрицы
A, поэтому rk{A
(1)
, . . . , A
(r)
, A
(i)
} = rk
˜
A = r, откуда, в частности,
вытекает линейная зависимость последней системы строк. Заметим,
что полученное ранее равенство rk(B|C) = r означает, что строки
43
и первых r столбцов матрицы A. (Такого расположения минора M
всегда можно добиться подходящими перестановками строк и столбцов
матрицы,
     Ã при!этом ее ранг не меняется.) Разобьем матрицу A на блоки:
        B C
A=             , где блок B — матрица порядка r (размеры остальных
        D F
блоков легко вычисляются, исходя из размеров B и A, в частности,
если r = m, то A = (B|C)). Ясно, что det B = M 6= 0, откуда
ввиду следствия 4.9 выводим rk B = r . Тогда и rk(B|C) = r , так как
r = rk B ≤ rk(B|C) = rk{A(1) , . . . , A(r) } ≤ r . Если r = m, то требуемое
равенство rk A = r получено.
     Пусть теперь r < m. Фиксируем номера i, j строки и столбца
матрицы A и рассмотрим окаймляющий M минор
                            ¯                        ¯
                            ¯ a11 . . . a1r a1j ¯
                            ¯                        ¯
                            ¯ .. . . . ..         .. ¯
                            ¯ .               .    . ¯
                       M̃ = ¯                        ¯.
                            ¯ ar1 . . . arr arj ¯
                            ¯                        ¯
                            ¯ ai1 . . . air aij ¯

Согласно предположению M̃ = 0, значит, его столбцы M̃1 , . . . , M̃r , M̃r+1
линейно зависимы (предположение о том, что rk{M̃1 , . . . , M̃r , M̃r+1 } =
r + 1 ввиду следствия 4.9 означало бы, что M̃ 6= 0). В то же
время первые r столбцов минора M̃ линейно независимы, так как
r ≥ rk{M̃1 , . . . , M̃r } ≥ rk B = r . Из курса линейной алгебры известно,
что если добавление вектора к линейно независимой системе превращает
ее в линейно зависимую, то добавленный вектор есть линейная
комбинация исходных, так что столбец M̃r+1 = (a1j , . . . , arj , aij )t линейно
выражается через первые r столбцов минора M̃ . В силу произвольности
номера j заключаем, что через линейно независимые столбцы
M̃1 = (a11 , . . . , ar1 , ai1 )t ,. . . , M̃                             t
                                             r = (a1r , . . . , arr , air ) линейно
                                                                                   выражаются
                                               a11 . . . a1r . . . a1n
                                                   ...              ...      
                                                                             
все столбцы матрицы Ã =                                                      , следовательно,
                                              ar1 . . . arr . . . arn 
                                                ai1 . . . air . . . ain
ее ранг равен r . Но Ã составлена из строк A(1) , . . . , A(r) , A(i) матрицы
A, поэтому rk{A(1) , . . . , A(r) , A(i) } = rk à = r , откуда, в частности,
вытекает линейная зависимость последней системы строк. Заметим,
что полученное ранее равенство rk(B|C) = r означает, что строки

                                              43

Страницы