Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Заметим, что если X =
i
↓
(0 . . . 1 . . . 0)
t
, то AX = A
(i)
, поэтому
любой столбец матрицы A (как столбец вида AX ) линейно выражается
через столбцы
˜
X
1
,. . . ,
˜
X
n−s
, следовательно, с учетом леммы 2.7 имеем
rk A ≤ rk{
˜
X
1
, . . . ,
˜
X
n−s
} = n − s. С другой стороны, непосредственно
из определения операции умножения матриц следует, что любой столбец
вида AX является линейной комбинацией столбцов матрицы A, так что в
силу той же леммы 2.7 получаем rk{
˜
X
1
, . . . ,
˜
X
n−s
} ≤ rk{A
(1)
, . . . , A
(n)
} =
rk A. В итоге, r = rk A = n − s, откуда r + s = n.C
Следствие 5.4 Однородная система имеет только нулевое решение
тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с количеством
неизвестных.
Доказательство. Ввиду теоремы 5.3 имеем V
A
= {0} ⇔ n −r = dim V
A
=
0 ⇔ n = r.C
Итак, задача о нахождении общего решения однородной
системы сводится к поиску базиса подпространства V
A
(он называ-
ется фундаментальным набором решений (ФНР) системы): если
{X
1
, . . . , X
n−r
} — ФНР, то
X
одн
общ
= C
1
X
1
+ ··· + C
n−r
X
n−r
, (5.4)
где C
1
, . . . , C
n−r
— произвольные числовые коэффициенты.
Существуют различные способы нахождения ФНР. Опишем один из
них.
Рассмотрим однородную систему Ax = 0. Ввиду лемм 2.1 и 5.1
можно считать, что матрица A имеет ступенчатый вид. Более того,
перенумеровав при необходимости неизвестные (с учетом (5.2) это
равносильно перестановке столбцов матрицы A), матрицу можно
привести к виду
A =
a
11
a
12
. . . a
1r
. . . a
1n
0 a
22
. . . a
2r
. . . a
2n
. . . . . . . . .
0 0 . . . a
rr
. . . a
rn
0 0 . . . 0 . . . 0
. . . . . . . . .
0 0 . . . 0 . . . 0
,
47
                                             i
                                             ↓

      Заметим, что если X =(0 . . . 1 . . . 0) t, то AX = A(i) , поэтому
любой столбец матрицы A (как столбец вида AX ) линейно выражается
через столбцы X̃1 ,. . . , X̃n−s , следовательно, с учетом леммы 2.7 имеем
rk A ≤ rk{X̃1 , . . . , X̃n−s } = n − s. С другой стороны, непосредственно
из определения операции умножения матриц следует, что любой столбец
вида AX является линейной комбинацией столбцов матрицы A, так что в
силу той же леммы 2.7 получаем rk{X̃1 , . . . , X̃n−s } ≤ rk{A(1) , . . . , A(n) } =
rk A. В итоге, r = rk A = n − s, откуда r + s = n.C
Следствие 5.4 Однородная система имеет только нулевое решение
тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с количеством
неизвестных.
Доказательство. Ввиду теоремы 5.3 имеем VA = {0} ⇔ n − r = dim VA =
0 ⇔ n = r .C
       Итак, задача о нахождении общего решения однородной
системы сводится к поиску базиса подпространства VA (он называ-
ется фундаментальным набором решений (ФНР) системы): если
{X1 , . . . , Xn−r } — ФНР, то
                         одн
                        Xобщ = C1 X1 + · · · + Cn−r Xn−r ,                    (5.4)

где C1 , . . . , Cn−r — произвольные числовые коэффициенты.
     Существуют различные способы нахождения ФНР. Опишем один из
них.
     Рассмотрим однородную систему Ax = 0. Ввиду лемм 2.1 и 5.1
можно считать, что матрица A имеет ступенчатый вид. Более того,
перенумеровав при необходимости неизвестные (с учетом (5.2) это
равносильно перестановке столбцов матрицы A), матрицу можно
привести к виду
                                                          
                             a11 a12 . . . a1r . . . a1n
                            0 a ... a ... a 
                                 22        2r         2n 
                                                          
                                ...       ...        ... 
                                                          
                       A=   0   0  . . . a rr . . . a    
                                                        rn  ,
                            0 0 ... 0 ... 0 
                                                          
                                                          
                                ...       ...        ... 
                              0 0 ... 0 ... 0

                                        47

Страницы