Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

где a
11
. . . a
rr
6= 0. Объявим неизвестные x
1
,. . . , x
r
главными, а
прочие — свободными. Перенесем свободные неизвестные в правые части
уравнений. Получим
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1r
x
r
= −a
1,r+1
x
r+1
− ··· − a
1n
x
n
a
22
x
2
+ ··· + a
2r
x
r
= −a
2,r+1
x
r+1
− ··· − a
2n
x
n
. . . . . . . . .
a
rr
x
r
= −a
r,r+1
x
r+1
− ··· − a
rn
x
n
(5.5)
Каждому набору (c
1
, . . . , c
n−r
) значений свободных неизвестных
отвечает частное решение X
0
= (x
1
, . . . , x
r
, c
1
, . . . , c
n−r
) исходной
системы (его удобно искать, двигаясь по системе (5.5) снизу вверх — из
последнего уравнения находим значение неизвестной x
r
, подставляем
его в предыдущее уравнение, находим значение x
r−1
и так далее).
Тогда решения X
1
, X
2
,. . . , X
n−r
, отвечающие наборам (1, 0, . . . , 0),
(0, 1, . . . , 0),. . . , (0, 0, . . . , 1) значений свободных неизвестных, образуют
ФНР. В самом деле, векторы X
1
, . . . , X
n−r
линейно независимы, так
как в составленной из их координат матрице последние n − r столбцов
образуют единичную матрицу, определитель которой, разумеется,
отличен от нуля, следовательно, с учетом следствия 4.10 имеем
n − r ≥ rk{X
1
, . . . , X
n−r
} ≥ n − r. Осталось заметить, что количество
векторов X
1
,. . . , X
n−r
совпадает с размерностью пространства решений
V
A
.
5.3 Неоднородные системы
Вернемся к неоднородным системам общего вида. Мы уже знаем
способ проверки совместности систем с помощью теоремы Кронекера–
Капелли. Получим теперь формулу общего решения неоднородной
системы в случае ее совместности.
Итак, пусть Ax = b — совместная система линейных уравнений.
Следовательно, существует удовлетворяющий ей вектор X
0
. Тогда для
любого частного решения X
0
однородной системы Ax = 0 имеем
A(X
0
+ X
0
) = AX
0
+ AX
0
= b + 0 = b,
то есть, X
0
+ X
0
— снова решение системы Ax = b. Обратно, пусть X
00
— некоторое решение системы Ax = b. Тогда
A(X
00
− X
0
) = AX
00
− AX
0
= b − b = 0,
48
где a11 . . . arr 6= 0. Объявим неизвестные x1 ,. . . , xr главными, а
прочие — свободными. Перенесем свободные неизвестные в правые части
уравнений. Получим
    
    
     a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = −a1,r+1 xr+1 − · · · − a1n xn
    
                a22 x2 + · · · + a2r xr = −a2,r+1 xr+1 − · · · − a2n xn
                                                                         (5.5)
    
                          ...           ...       ...
    
    
                                  arr xr = −ar,r+1 xr+1 − · · · − arn xn
Каждому набору (c1 , . . . , cn−r ) значений свободных неизвестных
отвечает частное решение X0 = (x1 , . . . , xr , c1 , . . . , cn−r ) исходной
системы (его удобно искать, двигаясь по системе (5.5) снизу вверх — из
последнего уравнения находим значение неизвестной xr , подставляем
его в предыдущее уравнение, находим значение xr−1 и так далее).
Тогда решения X1 , X2 ,. . . , Xn−r , отвечающие наборам (1, 0, . . . , 0),
(0, 1, . . . , 0),. . . , (0, 0, . . . , 1) значений свободных неизвестных, образуют
ФНР. В самом деле, векторы X1 , . . . , Xn−r линейно независимы, так
как в составленной из их координат матрице последние n − r столбцов
образуют единичную матрицу, определитель которой, разумеется,
отличен от нуля, следовательно, с учетом следствия 4.10 имеем
n − r ≥ rk{X1 , . . . , Xn−r } ≥ n − r . Осталось заметить, что количество
векторов X1 ,. . . , Xn−r совпадает с размерностью пространства решений
VA .

                        5.3 Неоднородные системы

     Вернемся к неоднородным системам общего вида. Мы уже знаем
способ проверки совместности систем с помощью теоремы Кронекера–
Капелли. Получим теперь формулу общего решения неоднородной
системы в случае ее совместности.
     Итак, пусть Ax = b — совместная система линейных уравнений.
Следовательно, существует удовлетворяющий ей вектор X 0 . Тогда для
любого частного решения X0 однородной системы Ax = 0 имеем

                    A(X 0 + X0 ) = AX 0 + AX0 = b + 0 = b,

то есть, X 0 + X0 — снова решение системы Ax = b. Обратно, пусть X 00
— некоторое решение системы Ax = b. Тогда

                   A(X 00 − X 0 ) = AX 00 − AX 0 = b − b = 0,

                                        48

Страницы