Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 51 стр.

значит, вектор X0 = X 00 −X 0 есть решение однородной системы, а решение
X 00 исходной системы можно представить в виде X 00 = X 0 + X0 . Тем
самым получена формула общего решения для неоднородных систем
                            неодн    неодн    одн
                           Xобщ   = Xчаст  + Xобщ .                         (5.6)

Следствие 5.5 Совместная система Ax = b является определенной
тогда и только тогда, когда система Ax = 0 имеет только нулевое
решение.C
Итак, общее решение неднородной системы есть сумма ее частного
решения и общего решения соответствующей однородной системы. О
решении однородных систем было рассказано выше, следовательно,
осталось указать способ нахождения частного решения совместной
неоднородной системы Ax = b.
     Как и в случае однородных систем, воспользовавшись элемен-
тарными преобразованиями строк и перенумеровав при необходимости
неизвестные, можно считать, что расширенная матрица системы имеет
вид                                                    
                      a11 a12 . . . a1r . . . a1n b1
                     0 a ... a ... a b 
                          22        2r         2n   2 
                                                       
                         ...       ...        ...      
                                                       
               Ā = 
                      0   0  . . . a rr . . . a rn b   
                                                      r ,   (5.7)
                     0 0 ... 0 ... 0 0 
                                                       
                                                       
                         ...       ...        ...      
                       0 0 ... 0 ... 0 0
где a11 . . . arr 6= 0, неизвестные x1 , . . . , xr — главные, xr+1 , . . . , xn —
свободные. Перенеся в правые части уравнений свободные неизвестные,
придав им произвольные значения (как правило, для простоты вычис-
лений значения свободных неизвестных полагают равными 0) и решив
получившуюся определенную систему из r уравнений, получим требуемое
частное решение исходной системы.
     Суммируя приведенные выше результаты, получаем следующий
алгоритм решения неоднородных систем:
     Шаг 1. С помощью теоремы Кронекера–Капелли проверяем
совместность системы. Если система несовместна, то решений нет, в
случае совместности переходим к шагу 2.

                                       49