Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Шаг 2. Находим ФНР соответствующей однородной системы и по
формуле (5.4) получаем ее общее решение X
одн
общ
.
Шаг 3. Находим частное решение X
неодн
част
неоднородной системы и
согласно (5.6) получаем ее общее решение X
неодн
общ
.
Следующая таблица отражает зависимость числа решений системы
m уравнений с n неизвестными от ее типа.
Система Неоднородная Однородная
Общая m < n Общая m < n
Число
решений
0,1,∞ 0,∞ 1,∞ ∞
Таб. 2
В заключение опишем еще один способ решения неоднородных
систем, известный как метод Гаусса.
Приведем расширенную матрицу
¯
A системы Ax = b к ступен-
чатому виду. Если полученная матрица содержит хотя бы одну строку
вида (0 . . . 0 |b
i
), где b
i
6= 0, то система несовместна, в противном случае,
перенумеровав при необходимости неизвестные, можно считать, что
расширенная матрица имеет вид (5.7). Объявим первые r неизвестных
главными, а прочие — свободными, и перенесем свободные неизвестные в
правые части уравнений. Получим систему
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ ··· + a
1r
x
r
= b
1
− a
1,r+1
x
r+1
− ··· − a
1n
x
n
a
22
x
2
+ ··· + a
2r
x
r
= b
2
− a
2,r+1
x
r+1
− ··· − a
2n
x
n
. . . . . . . . .
a
rr
x
r
= b
r
− a
r,r+1
x
r+1
− ··· − a
rn
x
n
(5.8)
Двигаясь снизу вверх по системе (5.8), решаем ее, обращаясь с
правыми частями уравнений как с буквенными выражениями. В
результате главные неизвестные будут выражены через свободные:
x
1
= f
1
(x
r+1
, . . . , x
n
),. . . , x
r
= f
r
(x
r+1
, . . . , x
n
). Тогда общее решение
исходной системы Ax = b имеет вид
X
неодн
общ
= (f
1
(c
1
, . . . , c
n−r
), . . . , f
r
(c
1
, . . . , c
n−r
), c
1
, . . . , c
n−r
),
где c
1
, . . . , c
n−r
— произвольные числа.
50
     Шаг 2. Находим ФНР соответствующей однородной системы и по
                                            одн
формуле (5.4) получаем ее общее решение Xобщ    .
                                         неодн
     Шаг 3. Находим частное решение Xчаст       неоднородной системы и
                                            неодн
согласно (5.6) получаем ее общее решение Xобщ .
    Следующая таблица отражает зависимость числа решений системы
m уравнений с n неизвестными от ее типа.
                Система                 Неоднородная Однородная
                                        Общая m < n Общая m < n
                Число                   0,1,∞   0,∞  1,∞    ∞
                решений
                                           Таб. 2
     В заключение опишем еще один способ решения неоднородных
систем, известный как метод Гаусса.
     Приведем расширенную матрицу Ā системы Ax = b к ступен-
чатому виду. Если полученная матрица содержит хотя бы одну строку
вида (0 . . . 0 | bi ), где bi 6= 0, то система несовместна, в противном случае,
перенумеровав при необходимости неизвестные, можно считать, что
расширенная матрица имеет вид (5.7). Объявим первые r неизвестных
главными, а прочие — свободными, и перенесем свободные неизвестные в
правые части уравнений. Получим систему
  
  
    a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1r xr = b1 − a1,r+1 xr+1 − · · · − a1n xn
  
                a22 x2 + · · · + a2r xr = b2 − a2,r+1 xr+1 − · · · − a2n xn
                                                                             (5.8)
  
                           ...           ...        ...
  
  
                                  arr xr = br − ar,r+1 xr+1 − · · · − arn xn

Двигаясь снизу вверх по системе (5.8), решаем ее, обращаясь с
правыми частями уравнений как с буквенными выражениями. В
результате главные неизвестные будут выражены через свободные:
x1 = f1 (xr+1 , . . . , xn ),. . . , xr = fr (xr+1 , . . . , xn ). Тогда общее решение
исходной системы Ax = b имеет вид
          неодн
         Xобщ   = (f1 (c1 , . . . , cn−r ), . . . , fr (c1 , . . . , cn−r ), c1 , . . . , cn−r ),

где c1 , . . . , cn−r — произвольные числа.



                                                   50

Страницы