Элементы алгебры: комплексные числа, системы линейных уравнений, многочлены. Ильин С.Н. - 53 стр.

                                    §6. Многочлены
     В предыдущих параграфах были рассмотрены примеры различных
алгебраических систем, такие как поле комплексных чисел, кольцо
матриц, группа перестановок. Данный параграф посвящен еще одному
важному классу алгебраических объектов — колец многочленов.
   6.1 Построение кольца многочленов. Степень многочлена
     Пусть K — поле. Рассмотрим множество P , состоящее их всех
последовательностей элементов поля K , в которых все члены, начиная
с некоторого номера, равны 0, то есть, P = {(f0 , f1 , f2 , . . . ) :
∃n ∀k > n fk = 0}. Зададим на P операции сложения и умножения:
      (f0 , f1 , f2 , . . . ) + (g0 , g1 , g2 , . . . ) = (f0 + g0 , f1 + g1 , f2 + g2 , . . . ),
                  (f0 , f1 , f2 , . . . )(g0 , g1 , g2 , . . . ) = (h0 , h1 , h2 , . . . ),
             P
где hk =            fi gj при всех k . Например, h0 = f0 g0 , h1 = f0 g1 + f1 g0 ,
            i+j=k
h2 = f0 g2 + f1 g1 + f2 g0 и так далее.
Теорема 6.1 (P, +, ·) — коммутативное ассоциативное кольцо с
единицей.
Доказательство. Пусть f, g ∈ P . Тогда fk = 0 при k > n для некоторого
n и gk = 0 при k > m для некоторого m. Ясно, что (f + g)k = 0 при
k > max(n, m), значит, f +g ∈ P . Если i+j > n+m, то i > n или j > m,
следовательно, fi gj = 0, поскольку по крайней мере один из элементов
                                         P
fi и gj равен нулю. Поэтому (f g)k =         fi gj = 0 при k > n + m,
                                                             i+j=k
значит, f g ∈ P . Таким образом, P замкнуто относительно введенных на
нем операций сложения и умножения.
      Перейдем к проверке аксиом кольца. Поскольку сложение
последовательностей из P производится поэлементно, оно наследует
коммутативность и ассоциативность сложения в K , нулем в P будет
последовательность (0, 0, 0, . . . ), противоположным к (f0 , f1 , f2 , . . . )
элементом — последовательность (−f0 , −f1 , −f2 , . . . ). Таким образом,
(P, +) — абелева группа. Коммутативность умножения в P вытекает из
коммутативности умножения в K :
                    X          X
          (f g)k =     fi gj =        gj fi = (gf )k , k = 0, 1, 2, . . .
                        i+j=k              j+i=k

                                                    51